☉江苏省兴化市戴泽初级中学　李慧祥　范才凤☉江苏省兴化市教育局教研室　陈德前



问题驱动激活经验方式多元培养思维*
——苏科版八年级上册“平面直角坐标系（1）”教学实录与点评

☉江苏省兴化市戴泽初级中学李慧祥范才凤
☉江苏省兴化市教育局教研室陈德前

在2015年11月19日举行的江苏省青年初中数学教师优质课比赛与观摩活动中，笔者设计执教的苏科版《义务教育教科书·数学》八年级上册第五章第二节“平面直角坐标系（第1课时）”，就如何在课堂教学中利用问题驱动激活学生的已有经验，变化教学方式培养学生的思维能力进行了有益的尝试，取得了预期的效果，获得省一等奖，给与会专家和老师留下了深刻的印象.以下是课堂实录与点评思考，敬请指教.

一、实录与点评

1.情境创设，激活经验

师：同学们，请看大屏幕（如图1）.小丽想去音乐喷泉，你能描述音乐喷泉的位置吗？

图1

生1：北京西路北边200m，中山北路西边400m.

师：按照生1的描述，小丽能找到音乐喷泉吗？

生众：能.

师：如果按照下面的描述，小丽能找到音乐喷泉吗？为什么？（屏幕呈现下列问题）

①北京西路北边，中山北路西边；②北京西路200m，中山北路400m；③北京西路北边200m.

（思考交流后）生2：都不能，①缺少了距离，②缺少了方向，③仅有一个方向和距离.

师：不错，生活经验告诉我们，在平面内确定物体的位置需要两个方向和两个距离.

点评：从生活实际出发，通过对找出音乐喷泉位置的讨论，激活学生已有的经验，学生就很容易理解确定音乐喷泉的位置要用两个数来表示.

2.问题引领，自主建构

师：若把音乐喷泉看作点A，你会用上节课学过的知识，借助于数对来表示它吗？

生3：可用数对（400，200）来表示点A.

生4：也可用数对（200，400）来表示点A.

生5：不行，一个点怎么可以用两个不同的数对来表示呢？

师：是的，为了使表示方法唯一，可类比教室里的座位（如图2），列在前，行在后，这样点A只能用数对（400，200）来表示.这种有先后顺序的两个实数叫作一对有序实数或有序实数对.

师：如图3，若把图书馆看作点B，又如何用数对表示它呢？

图3

生6：（400，200）.

师：都用（400，200）来表示点A、B，怎么区分呢？

生7：向东400m用400表示，向西400m用-400表示.

师：你能用所学过的数学模型来描述这两个量吗？

生8：将北京路抽象为一条直线，规定向东为正方向，十字路口为原点，一个单位长度为100m，则可用数轴来描述，如图4，此时由原点向西400m可用-4来表示，由原点向东400m可用4来表示.

图4

师：好！我们利用数轴很好地刻画了小丽在北京路上沿东西方向运动的距离，那能用这条数轴刻画小丽在中山路上沿南北方向运动的距离吗？

生9：不行，需要沿南北方向再建立一条数轴.

师：如图5，要刻画点A或点B的位置，仅仅用其中的一条数轴可以吗？怎么办？

图5

生10：不行，需要同时用这两条数轴.

师：那这两条数轴有怎样的特殊关系呢？

生11：公共原点、互相垂直.（教师板书）

师：在这个模型中，若把100m看作“1”，此时点A和点B怎么表示呢？

生12：点A为（-4，2），点B为（4，2）.

点评：设计问题串引导学生自主探究，先将实际问题抽象为数学问题，借助已有的数学模型——数轴来描述直线上点的位置，进而引发学生思考：如何描述平面内点的位置呢？再启发引导学生进行思考，进而联想到通过构建有公共原点且互相垂直的两条数轴，即可准确、快速地描述出平面内点的位置.这样的教学过程由浅入深，符合学生的认知规律.

3.活动探究，数学抽象

活动一：平面直角坐标系的概念.

师：这个图形就是平面直角坐标系（板书）.你能由刚才归纳的特征给它下个定义吗？

生13：具有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系.

师：对，可简称为直角坐标系，请大家阅读课本第120页平面直角坐标系的有关概念，然后在练习纸上画一个平面直角坐标系（教师巡视后找出学生中的典型错误进行展示纠错）.

点评：让学生尝试画平面直角坐标系，及时纠错，可加深对平面直角坐标系的理解.

活动二：由点写坐标.

师：有了平面直角坐标系，点A就可用（-4，2）表示.那图6中的点C怎样表示呢？

图6

生13：（-3，-2）

师：-3，-2是怎么确定的？

生14：过点C分别作x轴和y轴的垂线，垂足所表示的数分别是-3，-2.

师：对于点P，如何找出其对应的有序实数对呢？

生15：过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足所对应的数分别是a，b，则点P对应的有序实数对为（a，b）.

师：当点P的位置发生变化时，a、b的值也发生变化.由此可见：在直角坐标系中，任一点的位置都可以用一对有序实数来表示（板书：点的位置→有序实数对）.

活动三：由坐标找点.

师：反之，已知有序实数对，你能确定点的位置吗？例如（2，-3）对应的点是M，请在你所画的平面直角坐标系中找出点M.画好后小组内交流，分享你的画法，然后全班汇报.

生16：在x轴上找到表示2的点，过该点画x轴的垂线；再在y轴上找到表示-3的点，过该点画y轴的垂线；两条垂线的交点就是点M.

师：如果x轴上的点所表示的数用a来表示，y轴上的点所表示的数用b来表示，你能确定点P的位置吗？

生17：过x轴上表示数a的点画x轴的垂线，过y轴上表示数b的点画y轴的垂线，两条垂线的交点就是点P.

师：（用几何画板演示）当a变化时点P的位置在变化，当b变化时点P的位置在变化，当a、b都变化时点P的位置也变化.可见在平面直角坐标系中，一对有序实数也可确定一个点的位置（板书：点的位置←有序实数对）.这样的有序实数对叫作点的坐标.例如（a，b）就是点P的坐标，通常点的坐标与表示该点的字母写在一起.a 是x轴上的点所表示的数，称之为横坐标；b是y轴上的点所表示的数，称之为纵坐标.横坐标在前，纵坐标在后.

点评：从特殊到一般，引导学生归纳出由点得到有序数对和由有序数对找点的方法，并通过几何画板的演示说明其唯一性，进而得出点的坐标的概念，满足学生的认知需求.

4.知识应用，拓展延伸

师：请大家用刚才所学的知识完成下面的问题.

（1）写出图7中点A、B、C的坐标；

图7

（2）任写3个点D、E、F的坐标，让同桌在图7中描出各点.

教师巡视指导，学生完成后进行展示点评.

师：两条坐标轴将平面分成4个区域，要迅速地在这4个区域内找点，就要先明确点在哪个区域，这种区域叫作象限.x轴的正半轴和y轴的正半轴围成的象限称作第一象限，按逆时针顺序分别是第二象限、第三象限、第四象限.请大家思考两个问题：（1）各象限内点的坐标符号有何特征？（2）坐标轴上的点的坐标有何特征？

（学生独立思考并在小组内进行交流）.

师：哪位同学能和大家分享你们交流的结果？

生18：第一象限内点的坐标的符号都是（+，+）.

师：你能解释一下吗？

生19：因为过第一象限内的点分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别在x轴和y轴的正半轴上.

师：其他象限内点的坐标的符号有何特征呢？

生20：第二象限内点的坐标的符号都是（-，+），第三象限内点的坐标的符号都是（-，-），第四象限内点的坐标的符号都是（+，-）.

师：点在x轴上呢？点在y轴上呢？如何用字母表示它们呢？

生21：x轴上的点的纵坐标是0，y轴上的点的横坐标是0，可分别表示为（a，0）和（0，b）.

师：那坐标轴属于哪个象限呢？

生22：坐标轴不属于任何象限.

师：请大家运用各象限内点的坐标特征完成下列问题.

（1）平面直角坐标系中，点（2，-1）在（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

（2）在平面直角坐标系中，位于第三象限的点是（）.

A.（0，-1）B.（1，-2）

C.（-1，-2）D.（-1，2）

（3）在平面直角坐标系中，点P的坐标是（a，b）.若ab＞0，则点P在第______象限；若ab＜0，则点P在第______象限；若ab=0，则点P在______.

点评：让学生思考后分小组进行讨论、交流，培养学生发现新问题的意识.

5.回顾反思，渗透数学史

师：通过本课学习，你学到了哪些知识和方法？获得了哪些活动经验？还有什么疑惑？

学生从知识、方法、经验和疑惑等方面发表自己的见解.

点评：通过小结，让学生建构对平面直角坐标系的知识系统，总结学习中获得的经验，提出自己的疑惑，同时锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己见解的能力.

师：我们学习了平面直角坐标系，你知道它是谁发明的吗？请大家阅读大屏幕上的“阅读材料”《笛卡尔介绍》.

点评：组织学生阅读“阅读材料”，不仅增强了学生的学习兴趣，而且有机渗透了数学史，提升了课堂的数学文化品味.

6.布置作业，课后延伸

分为必做题—课本题和选做题—通过网络了解坐标系的种类及其发展史.

点评：通过分层练习，努力使每个学生在数学上得到适合自己的发展，进而促进班级教育的均衡发展.

二、思考与总评

平面直角坐标系是发展学生空间观念的重要载体，是实现学生的认识从一维发展到二维的典型素材，也是学生后续学习函数、平面解析几何等知识的必备基础.“平面直角坐标系（1）”是苏科版《义务教育教科书·数学》八年级上册第五章第二节的内容，主要是认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系，能根据坐标描出点，能由点写出坐标，这些知识都是进一步学习函数知识的基础.在此之前，学生通过“数轴”的学习，已经掌握了数轴上的点与实数是一一对应的；通过“物体位置的确定”的学习，已经初步认识了用数对可以确定物体的位置；学生已经具备借助数轴用一个实数来表示直线上点的位置和用数对来确定物体位置的经验，经历了很多探究过程，形成了一定的探究能力.在此基础上，教材通过学生熟悉的现实问题情境——如何确定音乐喷泉的位置引入了平面直角坐标系.有了平面直角坐标系，就建立了点与有序实数对（坐标）之间的一一对应关系，进而有效地实现数与形的相互转化.因此，在本节课教学中，要通过精心设计问题串，激活学生的已有经验，使学生借助已有的确定物体位置的生活经验进行思维，进而深刻理解平面直角坐标系，感悟坐标思想，通过自主探究，学会由点的坐标画出点的位置，根据点的位置写出点的坐标，了解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系，初步感受数与形之间的密切联系，发展空间观念，进一步提高思维能力.基于这样的思考，本节课进行了如下尝试，形成了一定的特色.

1.巧用情境，引导思维

好的情境能起到思维的定向、激发欲望的作用，提高课堂教学的效率.本节课十分重视创设贴近学生的生活情境，以激活学生的已有生活经验，激发学生的学习兴趣，吸引学生积极参与到教学活动中来，通过寻找音乐喷泉和图书馆进行位置的精确描述，让学生感受确定点的位置是生活中常见的事，从而认识到学习新知的必要性.通过多次变化描述确定音乐喷泉的方法、用同样的数对表示音乐喷泉与图书馆这两个不同的点、用数轴表示直线上不同方向运动的路程、如何用具有一定联系的数轴表示平面内的点的位置等情境，激起学生探索的欲望，引导学生不断深化思维，从生活情境到数学问题，从一维表达到二维描述，从单一直线到关联数轴，逐步演变，不断完善，十分自然地生成了直角坐标系.这里，在问题情境的引领下，探索构建直角坐标系模型成为学生的一种内在需求，一种主动探究的愿望.

2.问题驱动，启迪思维

问题是数学的心脏，以问题引导学习应当成为初中数学教学的一条基本原则.数学思想方法是数学的灵魂，数学思想方法的教学应该渗透在基础知识的教学和基本技能的训练之中.在本节课教学中，教者巧妙地将生活情境转化为数学问题，进而充分利用问题串来启发学生积极思考，自觉探索，有效地引领着学生思维，让学生通过尝试、归纳，感受用“两个方向和距离”表示点的位置的必要性，从而使探索用平面直角坐标系来描述平面内的点的位置成为必然，新课的导入水到渠成.这正符合苏联数学家辛钦所指出的引入新知的一个重要原则：由自然到必然，并能揭示问题本质.学生在探究画平面直角坐标系，由坐标找点，由点找坐标，象限内点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征等活动中，通过尝试、探索、归纳，不仅掌握了相关的知识和技能，而且感悟了转化、数形结合、类比、特殊到一般、建模等数学思想，加深了对平面内的点与坐标之间一一对应关系的认识，有效地突破了教学的难点，更积累了新的数学活动经验.

3.方式灵活，深化思维

新课程标准（2011年版）指出：“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程.有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者.学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.”在本节课教学中，教者通过灵活运用不同的教学方式来不断深化学生的思维.既有老师的有效组织与合理引导，又有学生的独立思考与合作交流；既有老师的精彩点拨，又有学生的自主讲解；既有大量的操作体验，又有充分的语言表述；既有必需的基础训练，又有必要的拓展延伸；既有基础知识的教学、基本技能的训练、基本数学思想方法的感悟、基本活动经验的积累，又有数学史和数学文化的有机渗透.课堂上生生互动、师生互动，让学生体验成功的乐趣，不同层次的学生都得到了不同的发展.

参考文献：

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.杨裕前，董林伟.义务教育课程标准实验教科书·数学（八年级下册）［M］.南京：江苏科技出版社，2013.

3.陈德前.三个立足找素材强化教研提素质［J］.中学数学（下），2015（11）.

4.李慧祥，王华军，陈德前.苏科版“阅读”材料的导读策略摭谈［J］.中学数学（下），2015（5）.

5.陈德前.分层要求巧设计，用好作业促均衡［J］.中国数学教育（下），2014（5）.

6.何乐，陈德前.借助已有经验培养探究能力［J］.中学数学教学参考（中），2016（3）.H

*基金项目：江苏省教育科学“十二五”规划重点课题《初中数学教材中阅读材料导读策略研究》（课题编号：E-b/2013/023）；江苏省中小学教研室第10期研究课题《初中数学阅读内容教学的策略研究》（课题编号：2013JK10-L216）；江苏省教育科学“十二五”规划课题《基于“班级教育均衡”的初中数学教学实践研究》（课题编号：E-c/2013/002）.