郑 聪,程晓良,梁克维

(浙江大学数学科学学院,浙江杭州310027)

带损伤弹性反问题的数值分析

郑 聪,程晓良,梁克维

(浙江大学数学科学学院,浙江杭州310027)

考虑一类由椭圆性方程和热传导方程共同来刻画的准静态弹性模型,通过给定观测值来反演边界的牵引力.首先构造一个凸目标泛函,并引入Tikhonov正则化方法,使之极小化得到一个稳定的近似解.再用有限元离散求解,导出误差估计.最后,用数值例子说明算法的可行性和有效性.

变分不等式;有限元方法;误差估计;数值模拟

§1 引 言

在日常生活和工业进程中,材料的损伤随处可见.损伤可能会导致材料结构发生变化,致使物体的承载能力降低甚至丧失.因此,在工程应用中,了解材料损伤的演变过程是非常重要的.

弹性正问题是在本构方程,材料特性,完整的边界条件和初始条件的已知情况下,求解位移场和损伤场.然而实际情况中,经常需要通过易测的(部分)位移信息来反求边界上(无法测量)的牵引力.这就是反问题.大多数反问题都是病态的,即解的存在性、唯一性和稳定性不能同时满足[1].因此,在求解病态问题上,通常会用到最小二乘[2],正则化[1,3-4]等方法,其中正则化方法包括迭代正则化,截断奇异值分解和Tikhonov正则化等.

关于形变反问题的研究成果并不太多.早期有用有限元方法来研究边界重构问题[5-6].后来,学者们引入正则化方法求解超定边界条件的问题[7-8].以及用边界元方法来求解形变……