田爽爽, 蓝师义

(广西民族大学理学院,广西南宁530006)

带形区域上SLE壳的性质

田爽爽, 蓝师义∗

(广西民族大学理学院,广西南宁530006)

利用带形区域上SLE的性质与Schwarz反射原理,讨论了带形区域上SLE壳的性质.给出了R-对称共形映射与带形区域内壳的关系;得到了带形区域内由一对不相交的壳组成集合与Loewner共形映射之间的关系;导出了R-对称共形映射的提升在带形区域的壳空间内以及带形区域的壳对空间上的相关映射是连续.这就将上半平面上SLE壳的有关性质推广到了带形区域的情形.

Loewner方程;SLE;壳;共形映射

§1 引 言

随机Loewner演变(Stochastic Loewner evolution,简称SLE)是2000年Schramm[1]在研究回路删除随机游动和一致生成树的尺度极限时引入的一种研究离散物理模型的一个随机过程.这类随机增长的过程是由驱动项为时间乘以一个参数κ的一维Brownian运动的经典Loewner微分方程来描述的.已经知道SLE迹的行为依赖于参数κ.当κ∈(0,4]时,它是一条简单曲线;当κ∈(4,8)时,它是一条自交的曲线;当κ∈[8,∞)时,它填满整个空间.同时,SLE与统计物理中网格模型的尺度极限有密切联系.已经被证明,临界点渗流探索路径收敛于SLE6[2];回路删除随机走动收敛于SLE2与一致生成树Peano路径收敛于SLE8[3];调和探索过程路径与离散Gaussian自由场的回路线收敛于SLE4[4]及FK Ising模型的接口收敛于SLE16/3[5]等.

文[6]通过上半平面SLE的性质研究了其相应壳的性质,结合耦合技术讨论了反向SLE与粘合的对称性.在本文中,讨论带形区域S1上SLE壳的有关性质.首先,利用带形区域上Loewner共形映射定义了S1-壳的积与商……