袁邢华，蒋巧云（南通大学 理学院，江苏 南通 226019）



关于复积分的计算

袁邢华，蒋巧云
（南通大学 理学院，江苏 南通 226019）

摘要：通过一个具体复积分实例，讨论了复积分的计算问题，总结了复积分的多种计算方法，以此加强学生对相应主要知识点的理解和掌握.

关键词：复积分；柯西积分公式；留数

在复变函数论中，复积分的计算是比较重要的一个内容［1-3］.本文通过一个具体的实例给出它的多种解法，从而让学生更好地理解和掌握复变函数中几个重要的知识点，而且通过一题多解，也让学生对这些知识点之间的联系有了更加全面的认识.

解法1比较适合被积函数是有理分式且比较容易进行部分分式分解的积分，另外，对所用到的已知结论要比较熟悉.关于如何对有理分式进行分解详见文献［4］.

解法2 利用复合闭路定理、柯西积分公式和高阶导数公式.

在z =3的内部作正向简单闭曲线C1，C2，C3，使得-1在C1内部，1在C2内部，-2在C3内部，并且C1，C2，C3互不相交，互不包含，从而

解法2的特点是不用把被积函数部分分式分解，而只需作适当变形让其满足柯西积分公式或高阶导数公式的要求，进而利用公式即可.

解法3 利用留数定义.

解法3对例1来讲计算时不是太简单，但如果被积函数在积分曲线内部的奇点是本性奇点时就只能用此方法来处理了.

解法4 利用留数定理及关于极点的留数计算规则.

解法4比较适合被积函数的奇点是极点，而且极点级数不超过三级的积分.

留数总和……