杨雅琴

（齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）



关于不定方程x3-1 = Dy2

杨雅琴

（齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）

摘要：利用参数法将不定方程x3-1 = Dy2（D＞0）分解成一元一次方程和一元二次方程组成的方程组，对这个方程组的解用参数表示，通过设定此参数的值得到该不定方程的非平凡解.分别讨论D不可约和D可约时，不定方程x3-1 = Dy2非平凡解的求解方法.

关键词：参数法；不定方程；非平凡解

1 引言及预备知识

关于不定方程x3-1 = Dy2（D＞0）已经有不少的研究成果.当D无6k + 1的素因数时，其全部整数解已由曹珍富［1］等得到.但当D有6k + 1的素因数时，方程的求解较为困难，许多学者对其进行了研究［2-8］.本文将不定方程x3-1 = Dy2分解成一元一次方程和一元二次方程组成的方程组，对这个方程组的解用参数表示，通过设定此参数的值得到该不定方程的非平凡解.分别讨论D不可约和D可约时，不定方程x3-1 = Dy2非平凡解的求解方法，给出不同D值对应的不定方程x3-1 = Dy2的非平凡解.

对于任意的D＞0，不定方程x3-1 = Dy2都有平凡解（1，0）.讨论当D＞1时，不定方程x3-1 = Dy2非平凡解的存在情况.

引理［3］20设p是一个素数，则不定方程u2-4 Dv2=± p 至多有一个解.

定理1 当D为偶数时，不定方程u2-4 Dv2= - 3无整数解.

为非零整数，则（u2+3）≡0（mod4），那么，u必为奇数.

如果v为偶数，则存在整数s，使得v=2 s，那么，不定方程u2-4 Dv2= - 3可写成u2-16 Ds2= - 3 .由定理1可知，不定方程u2-16 Ds2= - 3中（u，s）无整数解，与已知矛盾.所以，v必为奇数.再由引理可知，如果不定方程u2-4 Dv2= - 3有整数解（u，v），则此不定方程只存在唯一一组整数解. 证毕.

2 D不可约时，不定方程x3-1 = Dy2的非平凡解

（1）21x- = Du，221 x+x+v=，y= uv；

（2）21x- = u，221 x+xD+v=，y= uv；

（3）213x- = u，2213 xxDv + + =，y=3 uv；

（4）213x Du - =，2213 xxv++=，y=3 uv .

综上可知……