崔汉哲

(上海电机学院 数理教学部, 上海 201306)

B型非交错连接分拆的一个计数结果

崔汉哲

(上海电机学院 数理教学部, 上海 201306)

摘要连接分拆与非交错连接分拆是组合数学中的重要研究对象。以递推式的形式计算集合[±n]上分块个数为给定偶数2k的所有B型非交错连接分拆的数目，并得到其双重生成函数。

关键词B型非交错连接分拆; 递推式; 双重生成函数

连接分拆(linked partitions)与非交错连接分拆(non-crossing linked partitions)是组合数学中的一类重要研究对象，最早在算子代数的研究中被发现。它们在计算经典非交换概率论中T—变换的形式幂级数系数时起到了重要作用[1]，在非交换概率论的其他方面也有广泛应用[2-6]。与此同时，不同学者从组合数学的多个角度也探究了它们作为组合对象的丰富性质，如计数性质[7]、代数结构[8]、与其他组合对象的联系[9-13]等。

另一方面，文献[14]中从一类和组合数学有密切关系的重要代数结构——Coxeter群的分类角度出发，定义了一大类组合对象的A、B和D型。根据此观点，文献[15]中将传统的A型非交错连接分拆推广到B型，研究了它们的基本性质并得到一些基本的计数结果，即计算了集合[±n]={1，2，…，n，-1，-2，…，-n}上所有B型非交错连接分拆的个数。在此基础上，本文进一步考虑如下问题： 对于集合[±n]上的B型非交错连接分拆，在分块个数为给定正整数的情况下，它们的个数是多少？记[±n]上所有分块个数为偶数2k的B型非交错连接分拆的个数为a(n，k)，本文将给出a(n，k)满足的递推式及其双重生成函数的具体表达式。……