江创树

(广东省揭阳市揭东区第二中学，522000)

从教材练习题到高考压轴题
——例谈“求递推数列通项公式”的教学

江创树

(广东省揭阳市揭东区第二中学，522000)

递推数列是高考数列压轴题的主要类型之一,特别是近几年的广东高考,对递推数列的考查更是情有独钟.这类问题是一类比较难以处理的问题,学生碰到这类问题往往手足无措,无从下手.高考中这类问题的得分率很低，这是教学中的一个难点问题．

笔者在教学中发现,老师如果能从教材出发,科学合理地利用教材,注重对教材中的通识、通法以及例题、习题进行变形引申,引导学生用变化发展的眼光观察这些例题、习题,归纳出解决问题的系统方法,扎实打好基础,学生在高考中碰到这些难题便能做到心中有数,这些难题也会迎刃而解．本文就教材中的一道习题及其变式练习与一道高考压轴题的联系,谈谈笔者在求递推数列通项公式的教学中的一些做法．

例1已知数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3)．对这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?

解由题意，可设

an+λan-1=μ(an-1+λan-2)，

则an=(μ-λ)an-1+μλan-2.

由an=2n-1+3an-2,得

an-3an-1=-(an-1-3an-2)，

或an+an-1=3(an-1+an-2).

又∵a1=5,a2=2，

∴{an-3an-1}是以a2-3a1=-13为首项,-1为公比的等比数列;{an+an-1}是以a2+a1=7为首项,3为公比的等比数列．

由等比数列的性质，可得

an-3an-1=-13·(-1)n-2,

即an-3an-1=13·(-1)n-1，

①

又an+an-1=7·3n-2.

②

由① 、② ，可解得

评注这是新课标人教A版必修5第二章复习参考题B组的一道练习题,其原型是an=pan-1+qan-2(其中p、q为常数).这类问题有多种不同的解法,如数学归纳法、构造法、特征根法等．上述解答过程用到了构造法,在教学中可以引导学生对该问……