林惠贤

(广东省佛山市南海区大沥镇高级中学,528231)

○解题研究○

一道数列高考题的解题研究

林惠贤

(广东省佛山市南海区大沥镇高级中学,528231)

数列是高中数学的重点内容之一,也是与大学数学衔接的桥梁,在历年的高考试题中都占有重要位置．但是从试卷分析情况看,学生对数列知识的掌握和应用不容乐观．本文以2012年广东高考数学(理科卷)第19题为例,谈谈对该题的一些解题研究,希望能在解决数列综合题方面给大家一些有益的教学启发．

题目设数列{an}的前n项和为Sn满足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*，且a1,a2+5，a3成等差数列.

(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有

一、题目分析

题目主要考查了数列an与Sn的关系,等差中项的性质与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式,还有数列与不等式的综合．涉及到的数学思想与方法主要有:方程(组)思想的应用，转化与化归思想的运用，构造法、待定系数法、累加法、累乘法、数学归纳法、裂项相消法、放缩法等．

该题难度分三个层次,第(1)问属于基础题,第(2)问属于中档题,第(3)问是数列型不等式的证明,难度较大．题目的已知条件较少,明显条件为“2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成等差数列”；隐含条件是等差中项的性质,以及an与Sn的关系,即Sn=a1+a2+…+an和an=Sn-Sn-1(n≥2).通过这些条件不难列出方程组求出a1的值,从而解决第(1)问．由于已知条件给出Sn与an+1的关系式,故第(2)问可归结为“知Sn求an”的问题,借助明显条件“2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*”和隐含条件“an=Sn-Sn-1(n≥2)”,运用化归思想使第(2)问得到解决．至于第(3)问数列型不等式的证明,显然要把第(2)问……