严　飞

(江苏省南京市金陵中学，210005)

○教学研究○

燃起学生情感火花激发课堂生命活力
——“等差数列的前n项和”教学设计及感悟

严飞

(江苏省南京市金陵中学，210005)

数学课上,问题情境创设是否成功主要体现在以下几个方面:一是能否引起学生的兴趣,使他们聚精会神地投入,在情感上贴近教师和教材;二是能否自然合理,既有前面知识的继续,又有后续知识的开端,以一定的积累作为基础;三是让学生面临有一定感性认识的问题,问题无论是在操作层面上,还是在思维层面上,都要便于学生着手思考,让学生形成一个欲罢不能的追求目标.笔者备等差数列的前n项和这节课时,做了一些思考.这一节课除了希望达到利用“倒序相加”法推导公式的目标以外,还期望达成以下一些目标:一是体会推导求和公式的必要性;二是体会数列求和的一些基本方法;三是体会倒序相加法求和的优越性. 于是从学生的实际出发,抛开常规,希望以问题驱动,引导学生操作,并进行比较,最后能做出方法的选择.

一、教学过程设计

1.创设情境

师:数学来源于生活,又应用于生活,我们即将要去学农,需要准备一架木头梯子,要求梯子各级的宽度成等差数列,梯子最高一级宽28 cm,相邻两节之间宽度差4 cm.

设计意图给出等差数列的首项和公差,而不是直接给出首项和末项,学生可以根据等差数列的通项公式写出数列的各项,让学生在求和过程中有更多的选择.

师:请同学们回答下面三个问题:

(1)这架梯子的前3级共需准备多长的木料?

(2)若梯子共12级,这架梯子中间各级一共需要准备多长的木料?

(3)若梯子共n(n∈N*)级,这架梯子中间各级一共需要准备多长的木料?

设计意图这三个问题的设计具有层次性.学生解决第一个问题,不需要想太多,直接写出三项,就可以得出和. 但这种方法有局限性,在解决第二小题的时候遇到了困难,就逼着学生重新考虑解决问题的方法,体会公式求和的必要性.另外,笔者课前备课时想避开在等差数列求和公式推导过程中常见的两种经典引入:一是直接从解决1+2+…+100引入,二是从教材中数钢管的问题入手. 如果要解决等差数列求和中的“配对”,显然高斯1+2+…+100的经典引例更直接,学生更容易接受. 如果要破解“倒序相加”这一难点,显然数钢管的问题引入,效果更好. 但是不选择这两种设计,不仅是希望能有点新的探索,也是因为有些学生在课前进行了预习,问题情境很熟悉,启发性过强,不利于更好地进行思维训练,不能更好地体现出这种求和方法的必要性.

2.学生活动

师:第(1)问,请同学说出答案.

生:96 cm.这是根据通项公式,计算出前三项后再求和.但是这个方法有局限性,梯子的级数再增加,再用这个各项相加求和的方法计算就比较麻烦.

师:非常好,若梯子共12级,又如何准备各级木料呢?请同学们思考说出方法并说出这样做的理由.

生甲:首先求出末项a12=72,a1+a2+…+a12=28+32+…+68+72=6(28+72)=600. 计算出每一项再求和太繁琐,求出末项是为了利用高斯求和的方法“首末配对”.

师:很好,同学们都是这么做的吗?

生乙:a1+a2+…+a12=12a1+(1+2+…+10+11)d,利用等差数列通项公式分成两部分求和.于是,问题转化为求1到11这11个自然数的和,可以“首末配对”.

设计意图让学生充分打开思路,培养学生发散性思维的能力,提供研究问题的一般方法——先研究具体问题,再研究一般性问题. 学生甲的方法,让学生体会不能再一项项相加求和,体会寻找等差数列一般求和方法的必要性.学生乙的方法,让学生体会一种重要的数学方法:将较为复杂的不熟悉的数列求和化归为熟悉的已知的数列求和的问题；同时可以感受到分组求和的方便,为后面讲一般数列求和的问题做铺垫.

师:请同学评价一下这两种方法.

生:这两种方法都用到了“配对”的方法,并且都实现了求和的“化繁为简”的目的.

设计意图学生评价学生所讲方法的优劣,把一个学生的想法转化为所有学生的想法.

师:为了方便起见,数列{an}的前n项和记为Sn,即Sn=a1+a2+a3+…+an.

如果这是一架“爱的天梯”, 中间各级一共需要准备多长的木料?

生:Sn=a1+a2+a3+…+an, 利用等差数列{an}中,n+m=p+q,且n,m,p,q∈N*,则an+am=ap+aq的性质“首末配对”,但是需要根据n的奇偶性进行讨论.

当n为偶数时,

Sn=a1+a2+a3+…+an

当n为奇数时,

Sn=a1+a2+a3+…+an

再根据已知的a1和d求出an,代入,可得Sn=2n2+26n.

设计意图对这个问题,学生分奇偶讨论,不是难点,但要从奇偶讨论过渡到倒序相加,确实不容易.这一过程中有两点优势:一是学生对数列中常见奇偶讨论,有了一次很好的体验;二是有了比较,才能够突出倒序相加的优势.

师: 我们不难发现,Sn与n的奇偶性无关,那么是否意味着还有统一的可以避开分类讨论的方法呢?(分组讨论)

生:Sn=a1+a2+…+an-1+an，

Sn=an+an-1+…+a2+a1.

两式相加，得

2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)=n(a1+an),

师:你是怎么想到这个方法的?

生:想到这个方法是受到初中梯形面积公式的推导方法的启发,将梯形旋转倒置,与原图形首尾相接,构成一个平行四边形,梯形的面积是这个平行四边形面积的一半.

师:很好,这种方法称为“倒序求和”,请同学们比较一下“配对求和”与“倒序求和”.

生:“倒序求和”本质还是“配对”,只是换了一种表达形式,“倒序求和”可以避开奇偶分类讨论.

设计意图“配对求和”与“倒序求和”虽然如出一辙,但是从“配对求和”到“倒序求和”有比较大的思维跨度,学生在这个地方存在着比较大的认知困惑.如果“倒序求和”的方法直接被介绍,无疑就像波利亚所说的“帽子里跳出来的兔子”.所以引导学生回顾梯形的面积公式的推导方法,实现了由“配对求和”到“倒序求和”的平稳过渡,让学生知道公式的来龙去脉,以及公式背后隐藏的数学思想方法和思维过程.

师:非常好,“倒序求和”的本质是将“不同的数求和”化归为“相同的数求和”.这种倒序求和的方法在日常生活中也有应用,例如这样一个实际问题:某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层3根,下面每一层都比上一层多一根,最下面一层有8根,快速数出这堆钢管的总数.

设计意图充分挖掘了教材的功能,给出公式后,引用了课本中钢管的实例,再一次让学生对倒序相加有了更为形象的理解.

3.数学建构

师:这样我们就利用“倒序求和”的方法解决了求等差数列{an}的前n项之和Sn的问题.

师:如何根据题目的已知条件做出合理的公式选择?

生:在已知首项、末项和项数时,选择第一个公式;在已知首项、公差和项数时,选择第二个公式.

4. 数学应用

例1在等差数列{an}中,前n项之和为Sn.

(1)已知a1=3,a50=101,求S50;

设计意图让学生尽快熟悉公式,根据条件进行合理选择公式.

师:如果将第一小问改为,已知S50=2 600,a1=3,你能求a50和公差d吗?

生:可以,根据等差数列的求和公式以及通项公式,通过解方程的思想解决.

师:也就是说在等差数列的通项公式和前n项和公式中,含有n,a1,d,an,Sn五个量,只要已知其中的三个量,就可以求出余下的两个量. 请同学们动脑筋自己举出几个例子.

生甲:等差数列-10,-6,-2,…前多少项的和是54?

师:请两位同学分别板演这两道题,其他同学自行完成.

设计意图学生自己提出问题让其他学生解决,不仅可以加深学生对等差数列通项公式和求和公式的理解,同时还提高了学生的思维能力和参与课堂活动的积极性.

二、教学感悟

“探究”是学习的方法,也是学习的过程,某种意义上说也是学习的目的,因为它是解决数学问题思路形成的方法,与科研、运用等社会价值构成了思维方式和意图的关系.在日常生活和工作中,人们探究是因为面临着要解决的问题,那么数学课堂教学中的探究的对象是什么呢?那就是“问题”.问题是数学活动的载体,《普通高中数学课程标准(实验)》提出“提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力.”

如果一个教师“给他的学生以适合他们的认知水平的问题去引起他们的好奇心,并

用一些吸引人的问题来帮助他们解题,他就会引起学生们对独立思考的兴趣并给他们一些方法.”(波利亚). 课堂教学中提出的问题不同,触及学生原有的知识基础、知识结构就不同,学生的学习方式不同,学生对待问题的态度、情绪也不同,最终是学生的学习效果、学生的收获产生了很大差别. 备这一节课时,首先,想注重问题情境的整体性,所以以我们学农准备梯子为情境,以“问题串”的形式出现,希望能在问题串的引领下,学生进行系列的、连续的思维活动,从而达到不断攀升新的思维高度的目的;其次,想注重问题情境的层次性,问题之间具有层次,由浅入深逐步展开,这种层次不仅是逻辑之间的层次,更为主要的是思维过程的生成性. 通过问题情境中的三个问题不仅可以达到让学生知道利用“倒序相加”法推导出等差数列前n项和公式的目的,同时通过问题的深入还可以让学生理解以下三点:① 为什么要配对?② 为什么要倒序相加?③ 为什么能倒序相加?在教学过程中,不断给回答问题的学生提出新的和更深入的问题,就是希望能做到把一个学生的正确的想法转变成其他所有学生的想法,并且其他学生也能得到对问题的深刻的认识. 同时,希望学生自己能提出问题,培养学生善于发现问题并有欲望去解决它的意识.