上海市沙田学校 冯 祺

在初中几何学习中，如何添置恰当的辅助线，一直是学生们觉得有困难的问题。其实根据条件或结论，快速、有效、合理地添置辅助线是有章可循的。例如根据常见的基本图形补缺添辅助线；根据所用的几何定理所在的基本图形补缺添辅助线；“截长补短”“倍长中线”等。下面，介绍一种自己在多年的教学实践中感悟到的用图形运动变换的思想添辅助线的一些想法，供大家参考。

一、平移变换

平移变换主要出现在与梯形有关的几何题中，如添一腰的平行线、添对角线的平行线等。

如图1，添腰的平行线可以看成是将一腰平移；

如图2，添对角线的平行线可以看作是平移一条对角线。

例1：如图3所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+ ∠B= 9 0°，点M、N分别是AB、CD的中点。

求证：MN=(AB-CD)

分析：

所证等式右边有AB－CD，通过平移一腰至DP，即可证得AP=AB－CD，且有∠ADP=90°，在Rt△ADP中，AP上的中线等于 ，故平移MN至DG，本题归结证点G是AP的中点的问题。

用平移变换思想得到的是辅助线的添置位置，但书写时仍必须使用演绎证明的规范的数学语言：“过点D分别作DP∥BC，DG∥MN，分别交AB于点P、G”（证明过程略）。

本题也可以通过如图4的平移变换方法，即分别平移BC至NP，平移AD至NG得Rt△GNP，且GP=AB－CD，本题归结为证点M是GP的中点。辅助线的书写方法是：

“过点N分别作NP∥BC，NG∥AD，分别交AB于点P、G”。

这种图形运动变换的实质是将相对分散的元素∠A、∠B；AD、BC变得相对集中（集中在同一个直角三角形中），使得条件与结论之间的关系变得相对明朗起来。若能领会平移变换的这一实质，有些变化了的有难度的问题就能容易解决，无形中降低了学习难度。……