杜晓明

(华南理工大学数学学院， 广州510640)



Stieltjes积分在微积分教学中的应用

杜晓明

(华南理工大学数学学院， 广州510640)

[摘要]初学者在学习微积分时，容易对分部积分法、Abel判别法、Dirichlet判别法、积分第二中值定理等形式相近的内容产生混淆疑惑.Stieltjes积分能对这些内容作统一的处理，并给出十分直观的几何解释.

[关键词]Stieltjes积分； 分部积分； Abel判别法； Dirichlet判别法； 积分第二中值定理

1引言

2Stieltjes 积分

设f(t),G(t)为[a,b]上的函数.对于分划a=x0

若在max|xi-xi-1|→0时S的极限存在，且值为I，则它为 Stieltjes 积分, 可记为

若还有条件G(t)可导并且导数它的导数是g(t)，则以上积分还可改写成

几何意义：在一些特殊的情形之下，Stieltjes积分有明显的几何意义.当t在[a,b]之间变化时，坐标为(G(t),f(t))的点在坐标平面上给出一条曲线.

(a) 如果f(t)和G(t)都是连续单调递增的函数，则G(t)有反函数，曲线可以看作是f与G的反函数的复合函数的图像，I就是曲线下方与x轴所围住区域的面积(图1.1).

(b) 如果f(t)单调递增但G(t)不单调递增，则横坐标不再单调递增，曲线如图1.2.I同样是曲线右下方与x轴所围住区域的面积，只是这时纵坐标没法写成横坐标的函数.

(c) 如果f(t)和G(t)都不单调，则曲线可能发生自交，从而在中间形成一段闭曲线围住平面上某区域.这时曲线段围住区域的面积也要计入，正负号与曲线转圈的方向有关(图1.3，1.4).若围住区域的边界曲线是顺时针走一圈，则该部分的面积要重复计算，如图1.3，I=S1+2S2.若边界曲线是逆时针走一圈，则该部分的面积要被减去，如图1.4，I=S1-S2.

3分部积分法

几何意义：

记上面等式左……