姜　雯，　邱为钢

(湖州师范学院理学院, 浙江湖州313000)



无穷求和的计算Ⅰ

姜雯，邱为钢

(湖州师范学院理学院, 浙江湖州313000)

[摘要]应用积分变换法和参数求导法，得到了一些无穷求和的积分表示.给出了这些积分表示的封闭形式或者数值解.

[关键词]无穷求和； 积分变换； 参数求导

1引言

无穷求和的计算是高等数学的一项基本运算，理论物理的解析计算也经常用到.文献[1-8]分别利用幂级数，积分恒等式，范德蒙行列式, 傅里叶级数，特殊函数，泊松求和，交换次序等方法，得到了一些无穷求和的值.无穷求和的形式千变万化，要针对其特点选择最合适的方法来求.本文中的无穷求和形式，文献所用的方法无法求解，要借用求和表达式中某些函数的积分表示，交换积分和求和次序，把容易求和的部分先求出来，结果转化为形式简明的定积分.这样，无穷求和的计算就转化为定积分的计算，可以借助定积分计算方法或者数学软件解析(数值)计算，降低了计算难度，增加了计算精度.本文中的无穷求和和定积分，对于参数来说，都是绝对收敛的，保准了求和积分次序交换的合法性，不再一一证明.

2积分变换法

定义一个无穷求和为

(1)

这个无穷求和按定义数值计算收敛速度很慢，我们希望通过积分变换得到积分表达式，便于数值计算.由以下积分结果

(2)

把(2)式代入(1)式，计算得到

(3)

由无穷求和公式[9]

(4)

得到

(5)

定义一个无穷求和为

(6)

同样这个无穷求和按定义计算收敛很……