王瑞东，　刘玉波，　李旗挺，　张　舜，　王　喆

(1.天津理工大学理学院, 天津300384； 2.天津理工大学中环信息学院，天津300384)



取值于Banach空间上的向量值函数的柯西型积分的一些性质

王瑞东1，刘玉波1，李旗挺1，张舜2，王喆1

(1.天津理工大学理学院, 天津300384； 2.天津理工大学中环信息学院，天津300384)

[摘要]应用初等的方法讨论了取值于Banach空间上的向量值函数的柯西型积分的连续性、可导性、解析性和高阶导数公式，以及柯西型积分在具有可数基的Banach空间中的性质.

[关键词]向量值函数； Banach空间； 柯西型积分； 可数基

1基本概念和引理

定义1[1]用C表示复数域，E表示赋范线性空间.设D为C的一个子集，若对D中任一元素z，在E中有唯一确定的向量x与之对应，则称在D上确定了一个到赋范线性空间E上的向量值函数，记为x=f(z)，其中z∈D.

引理1.1[2]设E为任一无穷维的Banach空间，那么其必含有具有可数基的无穷维闭线性子空间.

2向量值函数的柯西型积分

定义2.1设Γ为C上的简单曲线(Γ不必是闭的)，向量值函数f(z)是定义在Γ上，取值于赋范线性空间的可积函数.则具有如下形式的积分

称为向量值函数的柯西型积分.

定理2.1设Γ为C上的简单曲线(Γ不必是闭的)，f(ζ)是定义在Γ上取值于赋范线性空间上的向量值函数，且‖f(ζ)‖沿Γ可积.则由柯西型积分定义的函数

在C上(除曲线Γ外)连续.

又因为‖f(ζ)‖沿Γ可积，所以∫Γ‖f(ζ)‖ds存在，不妨令M=∫Γ‖f(ζ)‖ds，则

从而有

故

定理2.3设Γ为C上的简单曲线(Γ不必是闭的)，f(ζ)是定义在Γ上取值于具有可数基的Banach空间的向量值函数.若由柯西型积分所定义的函数

‖F(z)-F(z0)‖<ε.

其中

所以……