文　武

(四川文理学院教务处，四川达州635000)



一些特殊类型的变系数二阶线性微分方程解法的研究

文武

(四川文理学院教务处，四川达州635000)

[摘要]运用变量变换的方法将一些特殊类型的变系数二阶线性微分方程化为常系数二阶线性微分方程，或已知齐次方程的一个解来求出齐次方程的另一个线性无关解，从而达到按照常系数二阶线性微分方程的特殊方法和利用常数变易法来求方程的通解的目的，同时纠正了文献[3]的结论和例子2的错误.

[关键词]变系数二阶线性微分方程； 特殊类型； 变量变换； 常数变易法； 通解

1引言

在大量的实际问题中，变系数二阶线性微分方程，一般说来都是不容易求解的.但是有些特殊类型的变系数二阶线性微分方程，则可以通过变量变换的方法将一些特殊类型的变系数二阶线性微分方程化为常系数二阶线性微分方程或者可求出另一个线性无关解的齐次线性方程.笔者认为不同的方程类型应该采取不同的方法来处理，有些特殊的方程可以采用专门的方法来求解就比较容易.在此，对一些特殊类型的变系数二阶线性微分方程解法的进行研究.

2研究结论

定义任何一个二阶线性微分方程

y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)，

(1)

总可以通过变换y=u(x)v(x)使原方程变为不含一阶导数项的方程

则称r(x)为常微分方程的不变式.

定理1变系数二阶线性微分方程y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)，经过线性变换y=u(x)v(x)可化为可解类型的方程

证作线性变换

y=u(x)v(x)，

(2)

这里u(x)，v(x)分别是待定和未知的……