彭乃驰 党婷

【摘要】对学生中存在的未定式极限的错误理解与疑问及易与这类极限混淆的一些极限作了详细的分析和比较，以期与从事独立学院数学教学的同行作教学交流，并希望对学生在这一问题的理解上有一定帮助.

【关键词】未定式极限；教学；理解；探讨

【基金项目】

Symbol`@@ 云南省教育厅科学研究基金项目（2015Y507）

一、引 言

独立学院是高等教育大众化的重要承担者，高等教育的大众化使得独立学院学生整体水平有所下移，数学基础参差不齐，有些问题教师看来无需解释但学生理解有难度；有些问题教师刚解释过，转眼学生就会忘记，因此，一些重要的知识即使简单，也应反复强调.已发表的关于未定式极限的论文一般主要关注这类极限的解法，并没有关注学生在理解这类极限时出现的问题.本文对独立学院学生中存在的对这类极限的错误理解与疑问及易与这类极限混淆的一些极限作了详细的分析和比较.

二、未定式极限教学分析

1∞型极限教学分析

（1）1∞型极限是指limf（x）g（x），（limf（x）=1，limg（x）=∞），1∞型极限结果不一定为1，重要极限limx→∞1+1xx=e即是一例.这与中学所学的1的任何次方都是1并不矛盾，因为1∞中的“1”一般是指极限为1，而不是常数为1.

（2）limx→∞1x为特殊的1∞型，该极限总为1，limx→∞1x=limx→∞1=1.该极限也可由极限的定义给出一个简单而又严谨的证明如下：

证明：取X=N，易知不存在实数x0>N，使得1x0-1≥ε，即ε>0，X，当x≥X时，1x-1<ε，故limx→∞1x=1.

（3）极限limf（x）g（x），（limf（x）=1，limg（x）=A）（其中A为常数，下同）不是1∞型，该极限总为1.

解 limf（x）g（x）=elimg（x）lnf（x）=elimg（x）limlnf（x）=elimg（x）lnlimf（x）=eAln1=e0=1.

（4）1∞型极限常见的错误解法有两种.

错解一：limf（x）g（x）=lim1g（x）=1.

错解二：limf（x）g（x）=elimg（x）lnf（x）=elimg（x）limlnf（x）=elimg（x）·ln1=e0=1.

错解一，错误在于因为……