郑宏宝

当数列{an}的递推式满足an+2+pan+1+qan=0（p，q∈R，n≥1）时，称数列{an}是一个二阶线性递推数列.这个数列是我们非常熟悉的，可以应用特征方程法求其通项.然而有些时候通项并不是我们所关心的，我们更关心的是这个数列所具有的一些性质，况且往往这种数列通项的形式非常繁琐.这里介绍一个二阶线性递推数列的非常好的性质：

若数列{an}满足二阶线性递推式，即an+2+pan+1+qan=0（p，q∈R，n≥1），则数列{a2n+1+pan+1an+qa2n}构成等比数列，且公比为q.

证明：首先构造参数λ1，λ2，使得an+2-λ1an+1=λ2（an+1-λ1an）.

与原递推式相比较，发现λ1+λ2=-p，λ1λ2=q，这也就是说λ1，λ2为方程

x2+px+q=0的两根，这就是我们所熟知的特征方程.于是{an+2-λ1an+1}构成公比为λ2等比数列，进而可以求出{an}的通项公式.

我们发现，参数λ1与λ2的地位是等价的，也就是说求出来λ1和λ2之后，原递推式变为an+2-λ1an+1=λ2（an+1-λ1an）①或者an+2-λ2an+1=λ1（an+1-λ2an）②

将①式与②式相乘，得：a2n+2+pan+2an+1+qa2n+1=q（a2n+1+pan+1an+qa2n）.

注：特别的，当q=1时，数列{a2n+1+pan+1an+qa2n}为常数列.

例1 数列{an}满足a0=1，an+1=7an+45a2n-362，n∈N，证明：

（1）对于任意的n∈N，an为整数；

（2）对于任意的n∈N，anan+1-1为完全平方数.

证明 （1）根据题目条件an+1=7an+45a2n-362，即2an+1-7an2=45a2n-36，

a2n+1-7anan+1+a2n=-9①，取n=n+1，再写一项，即a2n+2-7an+2an+1+a2n+1=-9.

发现an+2和an为方程x2-7an+1x+a2n+1=-9的两个根，根据韦达定理，有

an+2+an=7an+1，即an+2=7an+1-an.因为a0=1，a1=5，所以第一问归纳即证.

（2）第二问我们应用一下上述结论，因为an+2-7an+1+an=0，q=1，即

a2n+1-7an+1an+a2n=a21-7a1a0+a20=-9②，两边同时加上9an+1an，得：anan+1-1=an+1+an32.因为左边是整数，an+1+an3是有理数，所以an+1+an3一定也是整数，得证.

在证明的过程中我们发现，②式与①式完全相同，也就是说②式实际上并不需要我们之前所讲的结论也可直接得到.似乎并没有看到这条结论有什么特别好的地方，那么下面这道题就可以显示其作用.

例2 数列{an}满足a1=2，a2=3，an+2=3an+1-an，n≥1.求证：对任意正整数n，anan+1-5是完全平方数.

证明 直接应用上述结论，因为an+2-3an+1+an=0，其中q=1，所以

a2n+1-3an+1an+a2n=a22-3a2a1+a21=-5.兩边……