汪小梅 朱华 杨志鹏

摘 要 本文由一元函数奇偶性的定义和对称区间上“偶倍奇零”的结果，给出二元函数广义奇偶性的定义，并以理论推导和几何解释相结合的方式得到积分区域关于轴对称时的“偶倍奇零”，并进一步推广到关于轴对称，直线=对称，原点对称的二重积分以及三重积分，曲线积分，曲面积分，通过研究发现高等数学中的积分对称有一定的规律性。

关键词 奇偶性 对称性 积分

中图分类号：O13-4 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.06.019

Abstract The results of single variable function definition and symmetric interval "I times odd"， are binary function generalized parity definition， and by theoretical derivation and geometric interpretation combination get integral region on the X axis symmetry "even times odd"， and further extended to symmetric about the y-axis， the straight line y = x symmetry. Symmetry about the origin of the double integral and triple integral， curve integral， surface integral， through research found that the integral symmetry in higher mathematics has certain regularity.

Key words even and odd； symmetry； integral

宇宙中的许多事物都具有某种对称性，从古今中外的精美建筑，到巧夺天工的生活世界，无不显示出和谐优美的对称。在高等数学的领域里，对称也是一种美，这种美不仅体现在几何的外观形态上，还体现在其内在的规律上。

例如，定积分计算中的一个结论，

设 （）在[，]上连续，

①若 （）为偶函数，则 （） = 2 （）；

②若 （）为奇函数，则 （） = 0。

此结论成立必须要求两点：（1）积分区域[，]对称；（2）函数 （）必须具有奇偶性，而且当 （）为偶函数时就为两倍0到的积分，若为奇函数则结果为零，所以我们简称此结论为对称区间上的“偶倍奇零”。试想：如果将对称区间推广到对称区域，将一元函数推广到二元函数，那么二元函数在某对称区域上的二重积分是否也有类似的结论呢？如果有，二元函数的奇偶性又将如何定义呢？

1 二元函数广义奇偶性的定义

由一元函数的奇偶性定义知道，实际上是指一维空间中，关于原点对称的任意两点处的函数值如果相等就说明 （）是偶函数，互为相反数就为奇函数。……