摘 要 本文主要介绍积分几何学的产生与发展，以及对中国学者利用积分几何对等周不等式的研究现状进行总结和展望。

关键词 积分几何 几何概率 包含测度 等周不等式

中图分类号：O187 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.06.017

Abstract The paper mainly introduces the growing history and development of integral geometry， summarizing and prospecting the research status of Isoperimetric Inequalities by using integral geometry of Chinese scholars.

Key words integral geometry； geometric probability； containment measure； isoperimetric inequality

1 积分几何简介

积分几何是利用积分考察和研究几何图形性质的一门学科，是研究具有凸性对象的一种有力工具。积分几何，过去也称为几何概率，它主要起源于1773 年布丰投针实验。

设有一个可度量区域，向区域内任意投一质点，假设该点落于区域内任一位置是等可能的，且落在内任何子区域上的可能性与的度量（如长度，面积等）成正比，而与的位置和形状无关，则这个试验称为几何概型试验。利用几何度量，如线段的长度、图形的面积等求出部分的区域面积与总面积的比，部分线段的长度与整条线段长度的比，把这样计算的概率在数学上称为几何概率。

积分几何主要以图形集合的测度为基础，研究元素集的不变测度。积分几何和概率与统计紧密联系，通过这类测度得出的各种几何不等式对其他学科和许多数学分支起着重要的作用。在数学在发展历程中，克罗夫顿，贝特朗，H.庞加莱等的一系列有意义的研究工作，导致积分几何这门学科的建立。德国数学家W.布拉施克与他的合作者发表了一系列重要论文，使积分几何从此作为几何学的一个新分支得到系统而深入的发展。

2 积分几何与等周不等式的发展

在几何学的发……