庄海翔

数学批注式阅读指学生在阅读数学课本、课堂听课、课后交流等学习过程中，记录下自己对学习内容的理解和体会。它是一种以主动探究为核心的阅读实践活动，是一个倾向于理性思考的动态思维过程。它体现为学生对阅读内容的自主归纳、再次梳理和深度挖掘，是学生形成初步的数学思想、掌握学习数学方法、建构独立的数学精神、提高解决问题能力的有效途径。

一、 调控进程，适时推进，设计批注式阅读的跨度

根据课堂教学进程，数学批注阅读可以分为课前的一次批注、课堂的二次批注及课后的续补批注三个层面。这三个层面的批注在教学中的作用是不同的，一次批注是二次批注的前提；续补批注是对二次批注的延展。在这三个层次中，课堂上的二次批注最为重要，是学生在有限的时间内收获最多的环节。

1.未雨绸缪，提高自习的有效性

[案例1]对“积的变化规律”（苏教版小学数学四年级下册）的预习批注。

课前的一次批注其实就是有指导、有目标、有方法的一次预习活动。通过一次批注，教师可以预先掌握学生的预习效果，用以调整教学设计，对共性问题重点讲评，对个性问题有的放矢，从而根据学生的学案，调整自己的备课。需要说明的是，教师应与学生约定好，明确各种批注符号的作用，在班级内形成较为稳定的风格，便于师生之间交流。

2.互动交流，落实听学的实效性

二次批注需要在课堂上反馈完成。在这个层面，教师要结合知识点和一次批注的反馈，整合筛选学生的疑难，提炼出有探究价值的话题，并在此基础上进行师生间和生生间的讨论、交流、展示和质疑。教师在这一过程中要进行适当点拨或提升，使学生在独立思考和同学的交流互助下，进行二次批注，促使讨论充分且深入。但教师要掌握教学时间，智慧地遗留探究性、思考性问题给学生课后思考。

[案例2]对“积的变化规律”（苏教版小学数学四年级下册）的二次批注。

教师及时组织同学举例验证，得出结论：一个因数乘以一个数，另一个因数除以同一个数（0除外），积不变。随后，教师再次组织学生展开与“商不变的规律”的对比讨论：如果两个因数都同时乘一个数或者同时除以一个数（0除外），积又会有怎样的变化呢？举例验证（略）。

3.追踪反馈，孕育学习的拓展性

续补批注一般是在课后对二次批注意犹未尽处进行的补充、巩固和提升。既可以围绕知识点进行横向的迁移批注，也可以顺着学习内容的深度，进行纵向的深入挖掘。

[案例3]对“积的变化规律”（苏教版小学数学四年级下册）的追踪批注。

课后，学生又提出问题：两个因数都在任意（0除外）变化时，那么积又会怎样变化呢？一石激起千层浪。为了鼓励学生的热情，减轻探究的难度，笔者指导学生考虑四种情况。情况1：一个因数扩大，另一个也扩大；情况2：一个因数扩大，另一个因数缩小；情况3：一个因数缩小，另一个因数扩大；情况4：一个因数缩小，另一个因数也缩小。并建议他们用计算器举例验证。

学生列出了下表：

在课间中，学生进一步给出批注：情况1中，如果a=1，积扩大b倍；情况2中，如果a=1，积就缩小b倍；情况2、3中，如果a=b，那么就意味着，积不变。学生惊喜于自己的发现，并命名为“积的变化规律”四大法则。通过延续批注这种学习方式，让学生体会到数学的美，感受到知识的互相关联及深度拓展。

二、 分析学情，依据课型，掌握批注式阅读的深度

1.新授课要立足基础感知，控制批注阅读的数量

一般说来，新授课多涉及概念性教学及对算理、数量关系的理解与把握。教师要分析学情，兼顾全体学生的实际状态，先把学生“扶上马”，不要急于涉及比较复杂的数学问题。在问题数量上，教师可以预设1～2个，让学生能通过预习，比较容易地找到答案，从心理上产生批注阅读的需要。

[案例4]对“两位数乘两位数”（苏教版小学数学三年级下册）新授批注。

笔者在给学生的学案单上设置如下情境：“商店运来24箱苹果，每箱苹果重15千克，这些苹果一共重多少千克？”提出问题1：15×24= 。让我们先回忆以前的知识吧。15×4，你会计算吗？15×4这个算式是求（ ）箱苹果的重量。问题2：15×20=____，它是求_____的重量。15×24可以看做是上两题结果的和，现在你能尝试列竖式计算15×24吗？教师设计的两个问题，旨在让学生找到学习的重点，并理解两位数乘法计算法则，从而达到预习和整体感知教学重点的目的。

2.练习课要着眼研讨探究，提升批注阅读的质量

练习课以学生的独立练习为主，通过变式、对比、诊断性的练习，揭示知识间的内在联系，加深对所学知识的理解，培养学生思维的灵活性。在练习课上，教师要指导学生对自己的练习及和同学间的探究开展互评，进行有针对性的批注，写出自己或褒或贬的评价。

[案例5 ]对“两位数乘两位数”（苏教版小学数学三年级下册）练习批注。

教师出示学生常见的错误计算，组织学生展开讨论。

生1：两位数乘两位数，先用第二个因数的个位去乘第一个因数，再用第二个因数的十位去乘第一个因数，然后把两次乘得的积相加。

生 2：补充一点，每次乘得的数的末位应该和那一位对齐。

生3：在做题时候，我就犯过算式1这样的错误。

生3：刚才说的是不进位乘法，进位乘的时候，要注意每次乘得的积满几十就向前一位进几。我感觉在这个问题上，出现的错误比较多，比如算式2。

生4：还要注意两次计算的积相加的时候，满十了，也要进一哦。算式3就犯了这样的错误。

生5：我把两位数乘两位数的知识梳理一下，如图2。

生5的做法顿时赢得了大家的掌声。

3.复习课要关注拓展内化，创设批注阅读的空间

复习课所涉及的知识点较多，是对过去不同时间段所学的综合，从能力的培养上看，复习课有助于培养学生系统整理知识的能力、综合处理信息解决问题的能力。因此，复习课上的批注对培养学生的数学素养意义更大。

[案例6] 对“平面图形面积”（苏教版小学数学六年级下册）公式的批注。

师：小学阶段，我们学习了哪些平面图形？请把你对平面图形面积公式的理解整理出来。

生1：长方形面积公式是基础，正方形、平行四边形、圆的面积都可以转化成长方形。公式的推导过程体现了“转化”思想。

生2：圆比较特殊，它是曲线围成的图形，圆的面积公式比较难记，我采用画图的办法，把圆等分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。长方形的长等于圆的周长一半，即πr，宽就是半径r。

生3：三角形、梯形和平行四边形的关系更近一些。它们的面积都是等底等高的平行四边形面积的一半。

生4：说到“等底等高”，我还想到圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的。

生5：我们所学的平面图形面积计算公式都可以整合成一个万能公式。即，平面图形的面积=（上底+下底）×高÷2。如S正方形=（a+a）×a÷2=a2 ，这里把边长既看做上底，又看做下底和高；同样S三角形=（0+a）×h÷2=ah，这里把上底看做是0……

三、 尊重差异，张扬个性，再生批注式阅读的角度

儿童对文本的质疑、否定一定是基于自主思考的，这种思考可能是浅表的，可能是深刻的，可能是灵光一现的，也可能是深思熟虑的，但思考本身就充满教育意义。学生通过补白、质疑、否定的自主批注，在原有认知基础上自主建构，学生学会的将会是如何思考问题、如何解决问题，积累下来的是关于方法论的知识，指向的是数学核心素养的提升。

1.从留白入手，批注出本元解读

现行的苏教版数学教材有学生喜闻乐见的卡通西红柿、萝卜、蘑菇等，通过卡通人物对话或者自白，来出示知识要点。为了提高学生学习的有效性，给予学生思考的空间，教材在编写中特意让有的卡通人物只说了半句话，让学生自己去思考、推理、补白。这就需要学生去发现文本隐藏的内容，在发掘和推想“留白”的过程中对文本进行适当的批注。教师要及时引导学生发现内容，鼓励学生借助已有的知识和生活经验投入到数学学习中去。

2.从疑惑入手，批注出质疑精神

数学批注式阅读中的疑惑体现出学生个人的钻研精神和价值趋向，数学教师要善于挖掘资源，尊重学生的合理质疑，给予正确的引导。

[案例7 ]两位数乘两位数一定要从个位算起吗？

在苏教版小学数学三年级下册中介绍了“铺地锦”乘法计算。以62×37为例：

在这个计算过程中，有学生提出质疑，批注如下：可以将两个乘数各个数位上的数对应相乘，不一定非要从个位算起。而且画方格也比较麻烦，只要先把这两个整数分解，再组合就可以了，如图5：

学生能提出自己的独特见解，并合理地解释，真正进入文本，与文本对话、与作者对话，就能在数学精神等维度上得到长足发展。

3.从否定入手，批注出个性自我

肯定学生的否定批注就是允许学生在阅读中提出与文本相对立的观点并进行批注。学生敢于批注与文本相反的观点、感受，是一种创新精神和探究品质的体现，是思维方法、思维品质的飞跃。

[案例8] □里可以填哪些数字？

苏教版小学数学四年级下册第24页中的一道习题：□里可以填哪些数字？39□0000000≈39亿。有学生认为只能填1～4，0不能填，如果填0的话，就变成为3900000000=39亿（教师用书上也持这种态度）。但有学生提出否定意见，认为可以填0，批注指出：改写成以“亿”为单位的近似数，关键看千万位上的数字，而与百万位数、十万位上的数……没有关系。只要千万位上的数比5小就可以舍去！同时该学生指出，如果把题目改成39□0000001≈39亿，□里可以填什么呢？对0还有争议吗？

数学批注式阅读为学生数学思维的创生与发展创设了平台，其策略方法也是丰富多彩的，但根本的原则还在于教师的恰当引导与大胆放手。教师将主动权还给学生，肯定其合理见解，必将有益于学生核心素养的养成。