柳彦军

(重庆第二师范学院 数学与信息工程系，重庆 400067)



扩张映射原理及其应用

柳彦军

(重庆第二师范学院 数学与信息工程系，重庆 400067)

摘要：为了完善和发展不动点定理及其应用, 本文给出扩张映射的概念, 并利用Banach压缩映射原理证明扩张映射原理, 进一步得到其他一些不动点定理。最后, 详细论述扩张映射原理在证明方程解的存在性, 求一些数列极限和判定函数是否有不动点定理的应用。

关键词：Banach压缩映射原理；扩张映射原理；不动点；解的存在性

Banach压缩映射原理在数学的各个分支中起着非常重要的作用, 被广泛应用于非线性Volterra积分方程、抽象空间中非线性微积分方程及计算数学中的收敛算法等。另外, Banach压缩映射原理有多种形式的推广, 如伪压缩和集值压缩等[1]。受Banach压缩映射原理的启发, 以逆向思维考察Banach压缩映射原理, 给出扩张映射的定义, 并利用Banach压缩映射原理得到扩张映射原理, 进一步得到其他一些不动点定理。那么, 如同Banach压缩映射原理一样, 扩张映射原理也应该有很重要的应用。

一、 预备知识与引理

定义1[2-4]若

d(Fx,Fy)≤kd(x,y),∀x,y∈X，0

则称F为X上的一个压缩映射。

引理1[2-4](Banach压缩映射原理)设F是完备度量空间(X,d)上的压缩映射.则F在X中有唯一的不动点。

引理2[4]度量空间X到Y中的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中的任意M的原象T-1M是X中的闭集。

引理3[5]设X是完备度量空间, A是X一子集。若f,g:A→X满足下列条件:

(1) f是满射;

(2)存在下半连续函数φ:X→[0,∞)满足条件

d(f(x),g(x))≤φ(f(x)-φ(g(x)),∀x∈A

则f和g有重合点, 即存在x∈A, 使得g(x)=f(x)。

特别地, 若A=X,g=Ix(X上的单位映射), 则f在X中有一不动点。……