王　琦，丛　悦，高飞星

(河北科技大学理学院，河北石家庄　050018)



直径图为11圈的7距离集研究

王琦，丛悦，高飞星

(河北科技大学理学院，河北石家庄050018)

摘要：如果平面点集X中的任意两点确定的互异距离数为k，则称X为k距离集。用d(x,y)表示平面上互异两点 x,y之间的距离，记X中的最大距离为直径D=D(X)。直径图DG(XD)是由X中所有直径构成的图，XD表示其顶点集。讨论了当X是一个7距离集时，直径图DG(XD)的构型。利用DG(XD)中最多包含一个圈，且只能为奇圈的特性，以及直径所具有的特殊性，证得当直径图为11圈时，其顶点集XD恰好为某正十一边形的顶点集。

关键词：离散几何；互异距离；直径图；奇圈; 7距离集

给定平面点集X，如果X中的任意两点确定的互异距离数为k，则称X为k距离集。d(x,y)表示平面上互异两点x，y之间的距离，记X中的最大距离为直径D=D(X)。设XD={x∈X:存在y∈X，使得d(x,y)=D},m=m(X)=|XD|表示XD中的元素个数。Rn表示正n边形顶点所构成的集合，Rn-i表示正n边形中n-i个顶点组成的集合。文献[1]中引入了直径图DG(XD)的概念，直径图DG(XD)是由X中所有直径构成的图，显然直径图中不含有孤立的点。Cn表示n个点构成的一个圈。当有n个点时，加法运算在模n的基础上进行。ERDÖS等[2]讨论了确定k距离的最大点集，记最大点集所含点数为g(k)，给出g(1)=3，g(2)=5，g(3)=7，g(4)=9，g(5)=12，对最多5距离集给出了详细的讨论，提出了两大猜想：g(6)=13且这样的13点集只有3个；确定g(k)(k≥7)的最大点集只能是正三角形格集的点构成。文献[3]论证了3距离集的构造。SHINOHARA在文献[1]论证了12点5距离集的构造唯一性。文献[4—7]中给出了11点5距离集的构造，7点4距离集的构造，证明了最大6距离集为13点集的猜想, 即g(6)=13。……