☉浙江省宁波东海实验学校　陈明儒



挖掘网格图形几何特性，贯通三角函数求解路径——对一道中考试题的讲评与反思

☉浙江省宁波东海实验学校陈明儒

一、试题展示

题目如图1，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是________.

图1

这个问题是新近九年级三角函数单元测试的一个填空题，序号是第16题，来源于2012年泰州市中考数学试题第18题.简明的问题，简洁的网格图形，融几何、三角函数于一体，深受老师们的喜爱.但是考试结果出人意外，得分率很低.考后，笔者对这个问题进行了重点讲评，课堂上学生思维活跃，发言踊跃，解法之多，出乎笔者预期，课后师生收获多多.现将讲评过程呈现出来，与大家分享.

二、讲评片段实录

1.正面突破，颇费周折

师：大家猜猜这次考试得分最低的是哪一题？

众生：第16题吧！

师：是的，现在，我们一起解决这个难点问题.请做对的学生讲一讲你们的思路.

生1：（解法1）如图2，连接AD，作DH⊥AP于点H.设图中的小正方形的边长为1，因为S△ABD=BD·BC=AB·DH，所以DH=.由于BD∥ AC，则△BDP∽△ACP，所以，所以DP=.在Rt△DPH，PH=，所以tan∠APD==2.

图2

师：好样的！将所求的角放到一个直角三角形中，再利用三角函数定义求解.如果这样的直角三角形没有，就想方设法正面构造直角三角形.还有其他的构造法吗？

生2：（解法2）如图3，过点A 作CD延长线的垂线，垂足为G.因为∠ACG=45°，所以∠CAG=45°，于是AG=CG，且线段AG经过格点.由解法1，得DP=CD，DG=CD，所以PG=CG=AG.所以tan∠APD==2.

图3

师：不错！同样是构造直角三角形，显然计算量小了，令人眼前一亮.还有吗？

生3：（解……