☉安徽省六安皋城中学　陈　炎



一道课本习题证法的讨论、拓展与应用

☉安徽省六安皋城中学陈炎

一、问题提出

如图1，已知反比例函数y1=在第一象限的图像，过y2上的任意一点A，作x轴的平行线交y1于B，交y轴于C，过点A作x轴的垂线交y1于D，交x轴于E，连接BD、CE，则=_________.

图1

此题是沪科版教材九年级上册第21章《二次函数与反比例函数》的复习题.题目是反比例函数综合题，主要考查曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数的系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质.题目难度适中，解决方法不唯一，能很好发散学生的思维，锻炼学生解决数学问题的能力.

二、问题讨论

笔者查阅了不少资料，发现基本上千篇一律都是采取如解法1的方法：通过引入参数，建立横、纵坐标之间的关系，然后利用三角形相似来解决.

解法1：参数法.

设A点的横坐标为a，把x=a代入y2=，得y2=，则点A的坐标为.因为AC⊥y轴，AE⊥x轴，所以C点的坐标为，B点的纵坐标为，E点的坐标为（a， 0），D点的横坐标为a.

因为B点、D点在y1=上，所以当y=时，x=；当x=a，y=.所以B点的坐标为，D点的坐标为）.所以AB=a-，AC=a，AD=，AE=

当然，本题通过利用反比例函数“k”的几何意义来解，也很方便.

解法2：利用“k”的几何意义.

过B点作BF⊥x轴，垂足为F，过D点作DG⊥y轴，垂足为G，BF与DG相交于H.则S四边形OCBF=S四边形OGDE，所以OF· CO=DE·OE，所以BC·（AD+DE）=DE·（AB+BC），即BC· AD+BC·DE=DE·AB+DE·BC，得到BC·AD=DE·AB，所以.又因为∠BAD=∠CAD，所以△BAD∽△CAE.所以

但是，学生尚未接触到相似的知识（相似形知识在第22章），如何解？就学生的现状来说，需回避相似，因而有下面的解法.

解法3：勾股定理法.

在解法1（*）以下的解题过程中，可以这样处理.

在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=

在Rt△ACE中，CE2=AC2+AE2=a2+

三、解后反……

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