☉江苏省南京市中华中学上新河初级中学　宋伟军☉江苏省南京市中华中学上新河初级中学　黄玉华



一道中考模拟压轴题的解法探究与思考

☉江苏省南京市中华中学上新河初级中学宋伟军
☉江苏省南京市中华中学上新河初级中学黄玉华

在南京市组织的一次初三数学中考模拟练习中，一道压轴题让很多学生望而却步、思路受阻，得分率很低.笔者悉心研究发现，对于此题，只需抓住题目条件特征、图形特征和结论特征中的一个，运用基本数学模型和基本数学方法，即可自然求解.下面将解法探究呈现给大家，以飨读者.

一、题目

如图1，已知直线l与线段AB平行，试只用直尺作出AB的中点.

1.初步探索

如图2，在直线l的上方取一个点E，连接EA、EB，分别与l交于点M、N，连接MB、NA，交于点D，再连接ED并延长交AB于点C，则C就是线段AB的中点.

图1

图2

图3

2.推理验证

利用图形相似的知识，我们可以推理验证AC=CB.

（1）若线段a、b、c、d的长度均不为0，则下列比例式中，一定可以得出b=d的是（）.

（2）由MN∥AB，可以推出△EFN∽△ECB，△EMN∽△EAB，△MND∽△BAD，△FND∽△CAD.所以有，所以AC=CB.

3.拓展研究

如图3，△ABC中，D是BC的中点，点P在AB上.

（3）在图3中只用直尺过点P作直线l∥BC.（写出画法，作出图形，保留作图痕迹）

（4）依据（3）中直线l的画法，求证：l∥BC.

解：（1）选B.

（3）分别连接CP、AD相交于点E，连接BE并延长交AC于点Q，过点P、Q作直线l，则直线l即为所求.

下面展示参考答案关于（4）的解法，通过作平行线构造相似三角形，进而转化比例线段，再证相似得角相等，证平行.

（4）证明：如图4，过点E作MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N.

因为MN∥BC，所以△AME∽△ABD，△AEN∽△ADC，所以=

图4

因为点D是BC的中点，所以BD=CD，所以ME=EN.

因为MN∥BC，所以△PME∽△PBC，△QEN∽△QBC，所……