孟盼,黄榕波,董健卫

(广东药科大学 基础学院,广东 广州 510006)



两房室锥体神经元模型的分岔分析

孟盼,黄榕波,董健卫

(广东药科大学 基础学院,广东 广州 510006)

目的 研究具有电流反馈作用的两房室锥体神经元模型的分岔现象,主要考察两房室连接强度对神经元放电模式的影响。 方法 通过双参数分岔分析及快慢动力学分析方法,揭示了神经元的簇发模式产生及转迁机制。 结果 根据快子系统的余维-2分岔点,可以将系统的簇发行为分为3类,即“subHopf/subHopf” 型、“subHopf/homoclinic” 型以及 “fold/homoclinic” 型簇模式。 结论 外界激励和两房室之间的连接电导对神经元的动力学行为有着重要影响。

锥体神经元; 电流反馈; 簇模式; 快慢动力学分析; 分岔

神经系统是由数量众多的神经元组成的庞大而复杂的网络,它通过神经元的放电活动传递信息[1]。 神经元放电模式主要包括峰放电和簇放电。 已有研究表明,和单个峰放电相比,簇放电更加可靠[2],并且它对神经信息编码和传递等有着非常的意义[3],因此簇模式是极为重要的放电形式。许多神经元,如锥体神经元[4]、呼吸神经元[5]、丘脑神经元[6]等都可以呈现不同类型的簇放电模式。簇放电模式的动力学行为可表现为静息态与反复放电状态的相互转迁。簇模式种类繁多,利用快慢动力学分析来考察簇放电的静息态和放电状态之间的分岔,并依此给出簇模式的拓扑类型,是理解簇振荡产生机理的主要方法[7]。

锥体神经元是位于大脑皮层、扁桃体和海马中的一类神经元,在确定性的信号传递和突触可塑性等方面有着重要的功能作用[8]。本文针对改进后的锥体神经元双房室模型进行研究,从非线性动力学角度对模型所产生的复杂簇发放进行详细的分析,讨论两房室连接强度这一生理参数对神经元簇模式的影响,分析结果可帮助我们进一步理解锥体神经元动作电位簇模式中所蕴含的丰富的发放模式和节律编码。

1 两房室锥体神经元模型简介

锥体神经元,由胞体(soma)和树突(dendrite)两个房室构成,如图1所示。模型描述如[9]:

(1)

(2)

(3)

其中门控函数为:

somadendriteIDIDLISISLIKINagcIDS

图1 两房室锥体神经元模型
Figure 1 Two-compartment neural model

这里方程(1)和(3)分别描述了胞体膜电压VS和树突膜电压VD的动力学行为,其中胞体房室的电流包含了胞体的突触输入电流IS、树突流向胞体的内部电流IDS、外向钠离子电流INa、外向钾离子电流IK和泄漏电流ISL; 树突房室的电流则相对简单,仅包含3项,分别为树突的突触输入电流ID、树突流向胞体的内部电流IDS和泄漏电流IDL。各离子电流表达式为:INa=gNam(VS)(VS-ENa),IK=gKw(VS-EK),ISL=gSL(VS-ESL),IDS=gc(VD-VS)。ENa和EK分别为钠离子和钾离子的逆电位;ESL和EDL分别为胞体和树突膜上泄漏电流的静息膜电位;gNa、gK、gSL和gDL分别代表各通道的最大电导;gc表示两房室连接强度;C表示膜电容;IS和ID分别为胞体和树突的突触输入电流;p和1-p分别表示胞体和树突所占的面积比例。方程(2)为钾离子通道打开概率w的表达式,φ表示温度影响因子。值得注意的是,这个模型只能产生静息和连续峰放电这两种状态[5]。为了描述锥体神经元的簇发放模式,将方程(1)中的IS改写为线性负反馈的动力学方程

(4)

这里ε是时间尺度因子,取其为很小的正数以保证IS的慢变性,因此胞体突触输入电流IS的变化要比其他变量慢很多。故整个系统(1)～(4)可分为快子系统和慢子系统,快子系统由方程(1)～(3)构成,其中取IS作为慢变量。本文主要考虑两房室连接电导gc对锥体神经元放电模式的影响。其他参数取值为:ε=0.03,gNa=50,gK=15,gSL=2,gDL=2,p=0.331,ENa=50,EK=-100,ESL=-70,EDL=-70,Φ=0.23,C=2,v0=-22,v1=1.2,v2=18,v3=10,v4=6。

2 结果与分析

为了研究上述两房室神经元模型的动力学行为,我们在平面(IS,gc)上考虑快子系统(1)～(3)的余维-2分岔图2。其中余维-1分岔曲线包括平衡点的两条鞍结分岔曲线(f1，f2),subHopf分岔曲线(h),同宿轨分岔曲线(hc),以及倍极限环分岔曲线(lc)。余维-2分岔点除了Bogdanov-Takens分岔点BT (fold分岔曲线f2和同宿轨分岔曲线hc相切的点)外， 还有fold分岔曲线f2和极限环鞍结分岔曲线lc的交点A,同宿轨分岔曲线hc和subHopf分岔曲线h的交点B 以及这两条曲线相切的点C。 下面我们结合图2,来说明随着耦合强度gc的增加,全系统可以产生3种不同的簇模式,分别为 “subHopf/subHopf” 型簇振荡(type 1)、“suHopf/homoclinic”型簇振荡(type 2)、"fold/homoclinic" 型簇振荡(type 3),并且指出2个余维-2分岔点A和B在这3种簇模式转迁中所起的作用。

14121086420-2gctype3type2type1100500-50-100-150ISBT(a)hchlcf1f2(b)(c)

图2 (IS,gc)平面上的双参数分岔曲线图

Figure 2 Bifurcation curves on(IS，gc)-parametric plane for the fast subsystem(1)-(3)

2.1 "subHopf/subHopf" 型簇振荡

当控制参数gc的取值小于余维-2分岔点B的纵坐标时,例如gc=1,系统产生簇放电模式,如图3(a)所示。图3(b)是相应的快慢动力学分析。数值计算表明平衡点的分岔曲线是一条S形曲线。其中,S形曲线的上支分别是由稳定焦点(实线)和不稳定焦点(虚线)组成; 中支是由鞍点(虚线)组成; 而下支是由稳定结点(实线)组成。在图1中,我们沿着直线gc=1从左到右即慢变量gc增加的方向移动,可以看出,快子系统依次经过平衡点的鞍结分岔曲线f1、subHopf分岔曲线h、同宿轨分岔hc,最后是鞍结分岔曲线f2,相应的在图2(b)中分别表示为F1、H、HC 和F2. 快子系统经由subHopf分岔H产生一个不稳定的极限环并经由同宿轨分岔HC而消失。

500-50-100Vs100150200250050tHHCF1F2500-50-150Is(a)(b)

图3 (a)当gc=1时,“subHopf/subHopf” 型簇放电模式;(b) 快慢动力学分岔分析

Figure 3 (a) Bursting pattern of "Hopf/Hopf" type withgc=1 and(b) the fast-slow dynamics of the fast subsystem

我们将全系统的轨线叠加在快子系统的分岔图上来解释这种簇模式产生的机理。轨线沿着S形曲线的下支向右移动经由平衡点的鞍结分岔F2跃迁至上支的稳定焦点上,因此静息态转迁到放电状态的分岔是点H处的subHopf分岔。由于稳定焦点的吸引性,轨线围绕S形曲线的上支运动，并收敛到上支的稳定焦点。之后,轨线穿过subHopf分岔点H到达S形曲线上支的不稳定焦点。由不稳定焦点的特性,轨线先沿着不稳定上支运动,并最终回到S形曲线的下支。因此放电状态转迁到静息状态的分岔也是点H处的subHopf分岔,根据簇模式的分类,这种簇振荡为“subHopf/subHopf”型簇振荡[7]。

2.2 "suHopf/homoclinic" 型簇振荡

当控制参数gc位于2个余维-2分岔点A和B的纵坐标之间时,从图2可以看出,现在快子系统经过了极限环的鞍结分岔曲线lc,因此快子系统的结构发生了变化,所以系统会产生不同的放电模式。我们以gc=3为例进行说明,图4(a)和图4(b)为时间序列图和相应的快慢动力学分析。

40200-20-40-60-80100150200250050t500-50-150Is100HCHF1F2LP(b)(a)Vs

图4 (a)当gc=3时,“sub Hopf/homoclinic” 型簇放电模式;(b) 快慢动力学分岔分析

Figure 4 (a) Bursting pattern of "Hopf/homoclinic" type withgc=3 and(b) the fast-slow dynamics of the fast subsystem

可以看出,静息态同样经由subHopf分岔H转迁到放电状态,这一点和前面簇模式产生的机理相同。注意到现在上支的subHopf分岔H产生的不稳定极限环经过极限环的鞍结分岔LC转为稳定的极限环,继而稳定极限环碰到S形分岔曲线的中支,从而产生同宿轨分岔HC。但由于慢变效应的作用[8],系统轨线并不是立即跳跃到S形曲线下支,而是先绕着稳定极限环运动,再经由同宿轨分岔HC返回到静息态,因此这种簇振荡为 “subHopf/homoclinic”型簇振荡[7]。我们注意到正是余维-2分岔点B诱导这种簇模式的产生。

HCHLCF1F2100150200250050t500-50-150Is10040200-20-40-60-80(b)(a)Vs

图5 (a)当gc=5时,“fold/homoclinic” 型簇放电模式; (b) 快慢动力学分岔分析

Figure 5 (a) Bursting pattern of "fold/homoclinic" type withgc=1 and(b) the fast-slow dynamics of the fast subsystem

2.3 "fold/homoclinic" 型簇振荡

当控制参数gc的取值大于余维-2分岔点A的纵坐标时,例如gc=5时,锥体神经元产生图5(a)所示的簇放电模式,进一步,我们通过图5(b)的快慢动力学分析来研究这种簇模式的类型和动力学性质。和图4(b)相比,快子系统先经过极限环的鞍结分岔LC,然后再经过平衡点的鞍结分岔F2。因此当系统轨线沿着S形曲线的下支向右运动经过平衡点的鞍结分岔F2向上跳跃时,由于这时稳定极限环已经产生,所以轨线跳跃到稳定极限环而不是稳定焦点,故静息态到放电状态的分岔是点F2处的鞍结分岔。轨线绕着稳定极限环运动,最后经由同宿轨分岔而转迁到S形曲线的下支,这意味着簇振荡放电状态的结束。这种簇振荡为“fold/homoclinic” 型簇振荡[7],也称为方波簇振荡。这里余维-2分岔点A在由 “subHopf/Homoclinic” 型簇振荡转迁到 “fold/homoclinic” 型簇振荡中发挥了关键作用。

3 结论

本文针对具有电流反馈的两房室锥体神经元模型,深入探讨了外界激励和两房室连接电导对簇模式的影响。我们利用快子系统的余维-2分岔分析揭示了系统可以表现出3种截然不同的簇模式,分别是:“subHopf/subHopf” 型、“subHopf/homoclinic” 型和 “fold/homoclinic” 型簇模式,并且解释了这些簇模式之间转迁的动力学机理。分析系统不同的簇振荡模式是重要的,因为不同的簇模式反应不同生物信息的相应编码。结果表明两房室之间连接强度的变化可以导致系统产生复杂的簇模式行为。数值结果为进一步理解锥体神经元电位发放模式和信息编码提供了帮助。

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(责任编辑：王昌栋)

Bifurcation analysis of the two-compartment pyramidal neuron model

MENG Pan,HUANG Rongbo,DONG Jianwei

(SchoolofBasicCourses,GuangdongPharmaceuticalUniversity,Guangzhou510006,China)

Objective To investigate the bifurcation phenomena of a two-compartment pyramidal neuron model with current feedback control,and examine the effect of the coupling strength on the firing pattern. Methods Based on the two-parameter bifurcation analysis and fast-slow dynamics,the generation and transition mechanism of bursting was explored. Results Numerical simulation revealed that,according to the codimension-2 bifurcation points,the bursting pattern could be divided into three types,including "subHopf/subHopf" type,"subHopf/homoclinic" type and "fold/homoclinic" type. Conclusion Both of the outside stimulus and the coupling conductance may play an important role in neuron activities.

pyramidal neuron; current feedback; bursting; fast-slow analysis; bifurcation

2016-05-12

国家自然科学基金项目(11402057); 广东省普通高校青年创新人才项目(2014KQNCX137)

孟盼(1981—),女,博士,讲师,主要从事神经动力学研究,Email:mengpan200e@163.com。

时间：2016-09-20 15:32

http://www.cnki.net/kcms/detail/44.1413.R.20160920.1532.001.html

R338.1

A

1006-8783(2016)05-0654-04

10.16809/j.cnki.1006-8783.2016051202