王 燕

（南京财经大学应用数学学院，江苏南京210023）

反应扩散方程一般用来描述生物种群或化学物质的扩张和传播问题.在实际情况中由于受到各种环境因素的影响, 这种扩张行为往往具有某种方向性[1-2], 可用方程中的对流项来刻画这种具有方向性的移动[3-5].文献[6]分析了方程(1)的自由边界问题(这里反应项f(u)为Fisher-KPP类型):

其中u=u(t,x), t ＞0, x ∈I ⊆ℝ, β ＞0, 得到了解的全局存在唯一性、扩张灭亡二分性以及渐近扩张速度的估计.若考虑反应项f(u)是双稳态型时的自由边界问题, 则其中判断问题的解是否收敛于某一个平衡解是非常基础而关键的一个问题, 因此本文讨论当f是双稳态型非线性项时方程(1)的平衡解类型.

1 问题描述

由于方程来自生态模型或化学模型, 其中u 表示物质的密度, 故由解u的非负有界性, 只研究方程(1)的非负有界平衡解,即下述方程的非负有界解:

其中v=v(x),x ∈I ⊆ℝ.

方程(2)等价于如下二维系统:

系统(3)的每一个解( v( x ),w( x ))对应着相平面v-w 上的一条轨线, 并在轨线上任意w ≠0 的点处斜率为

下面考虑非线性项f 为双稳态型情形, 即f ∈C1([ 0,+∞)) 且满足

2 平衡解分析

2.1 相图分析

对于f 是双稳态型情形, 系统(3)在v ≥0 半平面上有且只有3 个平衡点, 即点(0,0)、(θ,0)和(1,0).经计算可得(0,0)、(θ,0)和(1,0)所对应的特征值分别为:

这里只考虑0＜β ＜c0的情况, 其中c0是方程ut=uxx+f(u)唯一的行波解的波速[7].因为在这种情况下f"(0)＜0, f"(1)＜0, 所以对任意的β ∈(0,c0), (0,0)和(1,0)是鞍点.当时,(θ,0)是两向结点;当时, (θ,0) 是 单 向 结 点; 当β ＜时,(θ,0)是焦点.

先考虑方程(2)在v-w 相平面的第一象限中落到(1,0)的轨线Γ1.将它与方程

命 题1: 设β ∈(0,c0), 则 方……