陈德前

2015年江苏省泰州市中考数学试卷的压轴题（第26题）：

已知：如图1，一次函数y=2x-4的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B，点P在该函数图象上，P到x轴，y轴的距离分别为d1，d2。

[TPSX3-25。TIF，BP]

（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d2的值；

（2）直接写出d1+d2的范围，并求当d1+d2=3时点P的坐标；

（3）若在线段AB上存在无数个点P，使d1+ad2=4（a为常数），求a的值。

一、错解原因归类

1。错解呈现。

（1）错解1：∵A（2，0），B（0，-4），

∴OA=2，OB=4。

如图2，过点P作PE⊥OA于点E，

[TPSX3-26。TIF；Z*2，Y]

图2

作PF⊥OB于点F。

∵P为AB的中点，

∴PE=12OB=2，PF=12AO=1。

∴d1+d2=PE+PF=2+1=3。

错解2：∵A（2，0），B（0，-4），

∴OA=2，OB=4。

如图2，取OA的中点E，OB的中点F，连接PE，PF，则PE⊥OA，PF⊥OB。

∵点P为AB的中点，

∴PE=12OB=2，PF=12AO=1。

∴d1+d2=PE+PF=2+1=3。

错解3：由y=2x-4的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B，可知A（2，0），B（0，-4）。

∵P为AB的中点，

∴点P的坐标为（1，-2）。

∴d1+d2=1+（-2）=-1（或d1+d2=±3）。

（2）①确定d1+d2的范围：

错解1：∵d1≥0，d2≥0，

∴d1+d2≥0。

错解2：设P（x，y），

∵y=2x-4，

∴P（x，2x-4），

∴d1+d2=|x|+|2x-4|=|x|+2|x-2|=-x+4-2x=4-3x（x<0），无最小值；

x+4-2x=4-x（0≤x≤2），有最小值；

x+2x-4=3x-4（x>2），无最小值。

由此可知d1+d2的范围是0≤d1+d2≤2。

②当d1+d2=3时点P的坐标：

错解1：当点P的坐标为（1，-2）时，d1+d2=1+2=3，满足要求，

∴当d1+d2=3时，点P的坐标为（1，-2）。

错解2：设d1+d2=3时点P的坐标为（x，2x-4），则有|x|+|2x-4|=3。下面没有对这个绝对值方程进行分类求解，遗漏其中一种或两种情况，造成解题过程不完整（过程略）。

（3）错解1：由d1+ad2=4，直接得到a=2。

错解2：∵在线段AB上存在无数个P点，使d1+ad2=4（a为常数），不妨取特殊点P（1，-2），则d1=2，d2=1，

∴2+a=4，解得a=2。

错解3：由d1+ad2=4，得d1=4-ad2，即-y=4-ax。又y=2x-4，

∴4-2x=4-ax，即（a-2）x=0。

∵a-2=0，

∴a=2。

2。错因归类。

错因1：概念不清，导致混淆。

在第（1）问中，由于对点的坐标与点到直线的距离概念不清，导致混淆，认为点到x轴的距离就是这个点的纵坐标，点到y轴的距离就是这个点的横坐标，出现了d1+d2=1+（-2）=-1或d1+d2=±3的错误结论（错解3），其实点到x轴的距离就是这个点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离就是这个点的横坐标绝对值；反之，由点到x（或y）轴的距离转化为点的坐标时，一定要加上点所在象限的符号。在第（2）问确定d1+d2的范围时，只注意到点到直线距离的非负性，忽视了从数量的角度寻找出其最小值，出现了由d1≥0，d2≥0，得到d1+d2≥0的错误结论（错解1）。……