王锋

【引例】（《九年义务教育课程标准实验教科书》人教版九年级数学上册第23章《旋转》第60页例题）如图1，E是正方形ABCD中CD边上的任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。

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图1 图2

解析：教材例题编写的意图是训练学生的作图能力，确定旋转后图形的位置，也就是确定旋转后3个顶点A，D，E的对应点的位置即可。由题意可知，点A的对应点是它本身，点D的对应点是点B，由于旋转后的图形与旋转前的图形全等，若设点E的对应点为点F，则有∠ABF=∠ADE=90°，BF=DE，因此在CB的延长线上截取BF=DE，则△ABF即为旋转后的图形（如图2）。

反思：由旋转的意义我们容易发现△ABF≌△ADE，根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，因此我们可以将线段、角转化到相应的位置，为顺利解题创造契机。纵观历年的中考试题可以发现，不少的中考试题都蕴藏着引例图形的踪影，如果我们能从引例的作图中发现“全等三角形”，便可以快速添加辅助线，为解题找到突破口，下面举例说明。

1。计算正方形的边长

例1 如图3，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，求正方形ABCD的边长。

[TPSX3-33。TIF，BP#]

图3 图4

解析：将△DAF绕点A顺时针旋转90°到△BAF′位置（如图4），

由旋转的意义可知，△DAF[KG*9]≌△BAF′，

∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，

∴∠EAF′=∠EAB+∠DAF=90°-∠EAF=45°，

在△FAE和△F′AE中，

[JB（{]AF=AF′，

∠FAE=∠EAF′，

AE=AE，[JB）]

∴△FAE≌△F′AE（SAS）。

∴EF=EF′。

∵△ECF的周长为4，

∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+CE+BE+BF′=FC+BC+DF=CD+CB=4。

∴2BC=4，

∴BC=2。

评注：解决本题的关键是利用“旋转”进行全等变换，通过构造△FAE≌△F′AE，实现线段之间的相互转化，进而求得正方形的边长。

2。计算线段长度

例2 （2014·绍兴）（1）如图5，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连接EF，AG。求证：EF=FG。

[TPSX3-34。TIF，BP#]

图5 图6

（2）如图6，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长。

分析：（1）可通过证明△EAF≌△GAF，再根据全等三角形的性质获证；……