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将抛物线轴对称、平移、旋转等变换是中考常见的一类题型，由于同学们平时接触较少，很多同学在考试时就会感到束手无策，希望通过下面的表格能帮助你方便快捷地解决此类问题。

T5”]y=a（x+m）2+na（-m，n）

平移a变

轴对称x轴

-a（-m，-n）

y轴

a

（m，n）

旋转

绕顶点（180°）

-a

（-m，n）

绕原点（180°）

-a

（m，-n）

一、轴对称

例1 （2015·常德）如图1，曲线y1是抛物线的一部分，且表达式为y1=[]33（x2-2x-3）（x≤3），曲线y2与曲线y1关于直线x=3对称。

（1）求A，B，C三点的坐标和曲线y2的表达式。

（2）过点C作直线CD∥x轴交曲线y1于点D，连接AD，在曲线y2上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，则这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标。

（3）设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

[TPHH1。TIF；S*2；X*2，BP#]

分析：（1）依题意可知点A与点B是曲线y1与x轴的交点，点C是曲线y1与y轴的交点，由曲线y2与曲线y1关于直线x=3对称可求得y2与x轴的另一个交点坐标，进而求得曲线y2的表达式。（2）由题意，当CM垂直平分AD时，才能在y2找到点M，故点M即为直线（点C与AD的中点Q连线）与y2的交点。（3）显然MN的值固定，转化为在y2上寻找到CM的距离最大的点，也就是与CM平行的直线与y2只有一个交点时，即为所求。

解：（1）令[]33（x2-2x-3）=0，解得x1=-1，x2=3，∴A点坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0）。令x=0，得y1=-[]3，∴C点坐标为（0，-[]3）。∵曲线y2与曲线y1关于直线x=3对称，∴曲线y2与x轴交于点（3，0）和（7，0）。∴可设曲线y2表达式为y2=[]33（x-3）（x-7），即y2=[]33x2-10[]33x+7[]3（x≥3）。

（2）令[]33（x2-2x-3）=-[]3，解得x1=0，x2=2，∴D点坐标为（2，-[]3），∴CD=2，∵AC=[]OA2+OC2=[]12+（[]3）2=2，∴AC=CD，∴点C在AD的垂直平分线上。设AD的中点Q，则Q（-1+22，-[]32），即Q（12，-[]32），设直线CQ的表达式为y=kx+b，∴b=-[]3，

12k+b=-[]32，解得k=[]3，

b=-[]3。∴直线CQ的表达式为y=[]3x-[]3。此时可令[]33x2-10[]33x+7[]3=[]3x-[]3，解得x1=13+[]732，x2=13-[]732（舍去）。∴点M的横坐标为13+[]732。

（3）存在。理由：∵MN的长度固定，∴点P到MN的距离最大时，△PMN的面积最大。……