喻俊鹏

利用二次函数的性质和一元二次方程根的判别式求某些代数式的最大或最小值，是近年来各地中考数学命题的热点之一。这类问题由于条件隐蔽，解法多样，具有一定的综合性，因此，在解题中经常会因思维的不严谨而出现错误的解答。下面略举两例，希望引起同学们的关注。

例1 已知实数a，b满足关系式3a2-6a+2b2=0，求a2+b2的最大值。

错解1：∵3a2-6a+2b2=0，

∴2b2=6a-3a2，

即b2=3a-32a2。

∴a2+b2=a2+3a-32a2=-12a2+3a=-12（a2-6a）=-12[（a-3）2-9]=-12（a-3）2+92。

∵-12<0，

∴a2+b2有最大值。

∴当a=3时，a2+b2的最大值为92。

错解2：∵3a2-6a+2b2=0，

∴a2-6a+2a2+2b2=0，

即a2-6a+2（a2+b2）=0。

设a2+b2=k，则a2-6a+2k=0。

∵a为实数，

∴上述关于a的一元二次方程必有实数根。

∴Δ=（-6）2-4×1×2k≥0，解得k≤92。

∴a2+b2≤92。即a2+b2的最大值为92。

点评：上述两种解法求得a2+b2的最大值均为92，看似正确无误，没有什么问题。事实上，当a=3时，由条件3a2-6a+2b2=0，可得到2b2=6a-3a2=6×3-3×32=-9。这显然与2b2≥0相矛盾，因此以上两种解法及结果都是错误的。

解：∵3a2-6a+2b2=0，

∴2b2=6a-3a2。

∵2b2≥0，

∴6a-3a2≥0，解得0≤a≤2。

∵a2+b2=a2+3a-32a2=-12a2+3a=-12（a2-6a）=-12[（a-3）2-9]

-12（a-3）2+92。

又∵-12<0，

∴a2+b2有最大值。

∴当a=2时，a2+b2的最大值为

-12（2-3）2+92=-12+92=4。

例2 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（6-2m）x+m2-4m+3=0的两个实数根，求代数式x1x2-x12-x22的最大值。

错解：由题设条件知，x1+x2=2m-6，x1x2=m2-4m+3。

∴x1x2-x12-x22=x1x2-（x12+x22）=3x1x2-（x1+x2）2

=3（m2-4m+3）-（2m-6）2

=-m2+12m-27=-（m-6）2+9。

∵-1<0，

∴x1x2-x12-x22有最大值。

∴当m=6时，x1x2-x12-x22的最大值为9。

点评：将m=6代入原方程，得x2-6x+15=0。显然此方程无实数根，这与题设条件方程有实数根相矛盾，因此结果错误。上述解法忽视了一元二次方程有实数根的前提条件：判别式Δ≥0。因此，解题中应首先依据判别式Δ≥0求出m的取值范围，然后根据二次函数的性质求其最大值。

解：∵方程x2+（6-2m）x+m2-4m+3=0有两个实数根，

∴Δ=（6-2m）2-4（m2-4m+3）≥0。解得m≤3。

又∵x1+x2=2m-6，x1x2=m2-4m+3，

∴x1x2-x12-x22=x1x2-（x12+x22）=3x1x2-（x1+x2）2=3（m2-4m+3）-（2m-6）2=-m2+12m-27=-（m-6）2+9。

∵m≤3，-（m-6）2+9的值随m的增大而增大，

∴当m=3时，x1x2-x12-x22有最大值，

最大值为-（3-6）2+9=0。

由上可见，利用二次函数的性质求解有关问题的最大值或最小值时，其关键是首先要抓住函数图象的开口方向和对称轴（顶点坐标），然后根据自变量的取值范围（某个区间内），利用二次函数的增减性确定其最值。……