李萌萌,贾梅,苏小凤

(上海理工大学理学院,上海　200093)



具有线性微分算子的分数阶微分方程积分边值问题

李萌萌,贾梅,苏小凤

(上海理工大学理学院,上海200093)

摘要：研究一类具有分数阶线性微分算子的非线性微分方程积分边值问题解的存在性与唯一性.利用Schauder不动点定理及压缩映射原理,建立并证明了边值问题解的存在性定理和唯一性定理,并给出两个例子以说明所得结论.

关键词：分数阶线性微分算子;积分边值问题; Riemann-Liouville分数阶导数;不动点定理

1　引言

由于分数阶微积分在科学研究和工程技术等领域具有广泛的应用,近年来分数阶微分方程的理论研究取得了一系列研究成果[1-4]．边值问题是微分方程理论研究的重要课题,许多学者对分数阶微分方程边值问题解的存在性与唯一性进行了大量研究[512].在对具有Riemann-Liouville导数分数阶微分方程边值问题的研究中,较多是假设未知函数在左端点的值为零, 即x(0) = 0的情况,例如参考文献[7-10].本文在文献[7]基础上,在不假设x(0) = 0情况下,利用Schauder不动点定理和压缩映射原理,研究了如下一类具有分数阶线性微分算子的非线性微分方程积分边值问题:

的解的存在性及唯一性,其中

n为非负整数, r∈R, Dα和Dβ均为标准的Riemann-Liouville分数阶导数, f : [0,1]×R→R满足L1-Carathe´odory条件, gi∈C[0,1], i = 1,2.

函数f : [0,1]×R→R称为满足L1-Carathe´odory条件,如果

(1)对任意的x∈R,函数f(·,x) : [0,1]→R是可测的;

(2)对几乎处处的t∈[0,1],函数f(t,·) : R→R是连续的;

(3)对任意γ＞0,存在ϕγ∈L1[0,1],使得当|x|≤γ时,对几乎处处t∈[0,1] 有|f(t,tα−2x)|≤ϕγ(t).

2　预备知识

有关Riemann-Liouville分数阶导数和积分定义可参见参考文献[1-2].

引理2.1[2]设α＞0, 0≤γ＜1,γ≤α,则分……