伊丽娜,包俊东,套格图桑

(内蒙古师范大学数学科学学院,内蒙古呼和浩特　010022)



广义Camassa-Holm方程的几种新结论

伊丽娜,包俊东,套格图桑

(内蒙古师范大学数学科学学院,内蒙古呼和浩特010022)

摘要：给出一种辅助方程的几种新结论,构造了广义Camassa-Holm方程的多种无穷序列新解.首先,利用首次积分与函数变换,给出了一种辅助方程的新解、B¨acklund变换和解的非线性叠加公式.然后,通过函数变换,把广义Camassa-Holm方程的求解问题转化为非线性常微分方程的求解问题.最后,借助符号计算系统Mathematica,构造了广义Camassa-Holm方程的多种无穷序列新解.

关键词：广义Camassa-Holm方程;辅助方程;首次积分;多种新解

1　引言

1993年, Camassa和Holm在CH方程[1]中首次获得了尖峰孤立子解:

其中k是常数.

在Camassa-Holm方程中,发现尖峰孤立子解后在其他孤立子方程中不仅发现了此类新解,还发现了另外一种新解,即紧孤立子解.文献[2]推导出CH-r方程,并获得了尖峰孤立子解.

其中c0,α/= 0, r是常数.

文献[3-4]用定性分析理论,研究了Degasperis-Procesi方程(3)的求解问题,获得了尖峰孤立波解和周期尖波解.

其中α,β,γ,δ,θ和c0均为常数.

文献[5-6]分别研究K(m,n)方程和B(m,n)方程,获得了三角函数型紧孤立子解.文献[7]用试探函数法,研究证明了广义Camassa-Holm方程(4)存在紧孤立子解.并获得了三角函数型紧孤立子解和双曲函数型孤立子解.

其中k,α,β,γ,δ和p均为任意常数.

当

时,广义Camassa-Holm方程(4)转化为Camassa-Holm方程(1).

广义Camassa-Holm方程(4)具有重要研究价值.本文用一种辅助方程的相关结论,通过几个步骤获得了广义Camassa-Holm方程的由双曲函数、Jacobi椭圆函数、Riemann θ函数、三角函数和……