朱广科++孟凡敏

摘 要：探究性问题让学生以独立自主或合作讨论为学习形式，运用操作、猜想、分析、实验、推理、归纳、发现等学习方式解决的数学问题. 在数学教学中，对问题探究既注重学生数学实践应用、动手能力的训练，又强化数学思想方法的渗透，同时又兼顾学生阅读分析、迁移知识解决问题能力的检测，还改变了学生学习方式与探究问题的方式，凸显过程性探究，引领过程性教学.

关键词：探究性问题；阅读理解；拓展迁移；规律探究

数学探究性问题是指让学生以独立自主或合作讨论为学习形式，运用操作、猜想、分析、实验、推理、归纳、发现等学习方式解决的数学问题. 其呈现方式可分为实践操作型、规律探究型、阅读理解型、拓展迁移型等几种类型 [1].它一般包含问题的提出、数学模型的建立、问题的解决、数学知识的应用、酝酿与形成研究问题的方法等步骤. 这种问题通常以探索、研究、实验操作等不同形式呈现于中考中，并借助恰当的数学素材，或是以几何图形为题材，或是以数学问题为背景等. 通过对相关问题的描述或逐步观察、操作（包括数据分析、整理、运算或作图、或证明）、归纳、研究等，进而发现问题、创新问题. 试题在注重考查相关基础知识，基本技能、方法的同时，更注重考查对相关知识的联想、探索、发现、总结归纳与创新，是近几年中考改革中出现的新题型.

一、数学探究性问题的类型

（一）在阅读理解中体验

此类探究性问题通常是给出一段文字，让学生领会其中的知识内容、方法要领，一般用于新定义、方法类比、判断推理或迁移发展等类型的问题. 这类试题的结构一般分为阅读材料和考查目标两部分，通过阅读理解，用新定义解决的一个相关问题；或类比提供的材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题；或对提供的材料进行归纳概括，依据对材料本质的理解进行推理，做出解答；或从提供的材料中，通过阅读理解其采用的思想方法，将其概括抽象成数学模型去解决类似或更高层次的相关问题. 该类试题特点鲜明、内容丰富，不仅考查学生的阅读能力，而且考查学生实现从模仿到创造的思维过程. 解题的关键是理解所给材料的作用和用意，核心在于理解.

（二）在拓展迁移中建构

此类探究性问题提供一段文字、素材或图表材料，往往其中蕴含了一种解题思路，或展示一个数学要领、结论的形成和应用过程，或一个新数学公式的推导和应用，或介绍一种解题方法等. 在呈现方式上，问题的结论往往隐去，改用“是否存在”“是否成立”等问句表述，就可将原问题变成探究型问题. 有些特殊的问题，将其特殊的条件加以推广，也可以得到该类型的探究型问题. 课本的例题和习题中有不少问题都可以通过增加、变换情境，改变设问方式，将一般性问题改为拓展迁移型问题. 也就是说，解题不是停留在某一问题上，而是就某一问题进行改造，即改变某一个或几个条件，对原来的问题进行重新探索，作拓展性思考.

例2 （2015年福建莆田卷）在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若点P是BF的中点，连结PC，PE.

特殊发现：如图4，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）.

问题探究：把图4中的△AEF绕着点A顺时针旋转.

该问题以特殊发现和问题探究为主线，主要考查全等三角形、相似三角形和旋转等有关知识. 题目设置由特殊到一般，求解的途径由全等到相似，求解的结果由具体到抽象，像这样逐次递进，既能考查学生所具有的能力，又凸显了试题良好的区分度. 试题设计的3个问题由浅入深，特殊发现给我们暗示了探究的方向和解题方法，问题探究（1）（2）的方法是以特殊发现为基础，通过改变点E，F的位置，图形的形状虽然发生了变化，但解决问题的方法不变，△CPB和△MPF的全等关系不变，即问题的本质不变. 整个问题的设计循序渐进，环环相扣，螺旋上升，解决问题的思路是互逆的，解决方法也是相通的，其核心是找到“变”中的“不变”. 这种以分层递进的方式探讨问题，能较好地考查学生的知识迁移能力和问题解决能力. 所以解决这类问题，首先要增强“用数学”的意识，解题的关键是理解所给材料的作用和用意，抓住题目中的关键词，它一般是启示我们如何解决问题或为了解决问题给我们提供工具、素材、方法及解题策略.

通过对拓展迁移型问题的探索，不仅对原问题获得更深刻认识，同时获得数学思维方法，形成数学能力. 整个探索过程，将原问题变成了一个开放型问题，让学生利用类比等手法领略到发现和解决问题后的喜悦. 这也给我们的教学指明了方向，即数学教学应重视通性通法的落实，重视数学本质的揭示，尊重学生的个性差异，让学生充分享受学习过程.

（三）在规律探究中酝酿

规律探究题是在特定的背景、情境或某些条件下，通过认真分析，仔细观察，提取相关的数据、信息，进行适当的分析、综合归纳，做出大胆猜想，得出结论，进而加以验证或解决问题的一类探索题. 它一般先给出前几项，让学生探究后面某个或某几个特定的项，再探索第n项的规律. 这样由特殊到一般，由简单到复杂，逐步深入. 这类问题具有隐蔽性、启发性和迁移性，能否结合提出的问题，提取有价值的信息，排除干扰，从中找出规律是解决问题的关键，一般是通过观察，联想迁移，运用类比推理，以揭示数学本质. 它能很好地考查学生的阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文学概括能力、书面表达能力.

例3 （2015年山东青岛卷）问题提出：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？

问题探究：

不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论.

探究一：（1）用3根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形. 所以，当n=3时，m=1.

（2）用4根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形. 所以，当n=4时，m=0.

（3）用5根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形；若分为2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形. 所以，当n=5时，m=1.

（4）用6根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形； 若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形. 所以，当n=6时，m=1.

综上所述，可得表：

探究二：（1）用7根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

（2）分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究……

解决问题：

用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？设n分别等于4k-1，4k，4k+1，4k+2，其中k是整数，把结果填在表中.

问题应用：

用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（要求写出解答过程）其中面积最大的等腰三角形每个腰用了 根木棒. （只填结果）

从字面上看，该问题平淡无奇，属于规律探究类问题，但若深入思考，细加品味，就会发现在平时的“题海”中又很难找出原型，需要让学生经历观察猜想、归纳结论、实践应用以及体验合情推理等数学过程. 本题用n根相同的木棒搭等腰三角形的个数（木棒无剩余），难度较大. 所以，问题从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论→实践结论，灵活应用表格中的数据是验证结论的依据，而解决规律性问题关键在于猜想，在于从简单情形入手，逐个观察、发现图形或数的变化规律及内在关系式，构建相应的数学模型，探讨某些情境中的特殊、简单情况下存在的某个结论，然后进一步推广到一般情况，这是归纳猜想问题的一种经验或一种模式. 为此要求我们能在一定的背景或特定的条件下，通过观察、分析、比较、归纳、猜想，从中发现有关数学对象所具有的某种规律或不变性的结论和数学本质的内容，进而利用这个规律或结论进一步解决相关的实际问题，同时在实践应用中要注意逆向思维的应用.

综合上述，探究性问题与一般学习内容比较，更具综合性、实践性和探索性，它以解决问题的活动为主线，充分运用已学过的知识和数学方法，经过归纳、类比、联想，构建相应的数学模型，发现共同特征，或者发展变化的趋势，寻找隐含其中的规律或相关的结论，使结论尽可能与实际情况相吻合，并且渗透探究性学习的思想和方法. 解决问题的核心是通过“操作、观察、猜想、讨论、说理、归纳”等手段，让学生主动探究，勇于创新，不仅使学生掌握知识，也使学生获得解决问题的能力. 在探究过程中，注重让学生获得解决问题的方法和策略——尝试、猜想和操作验证的过程[2] .

二、数学探究性问题的教学启示

从数学层次上看，探究性问题为学生提供了亲身经历“用数学”“做数学”的过程，在这个探究的过程中，学生经历了观察、实验、猜测、计算、推理、验证等过程，对自己的发现进一步寻求证据，给出证明，无形中就把知识技能、思想方法很好地融进了学生的动手探究中. 在考试中，既考查学生对知识的把握水平，又切实了解学生过程性目标的达成情况，这对今后学生的学习与教师的教学起到了一个引领和示范作用. 因此，探究性问题的意义不仅在于考查相应的知识，更在于考查学生的数学活动过程，在自主探索与合作交流的过程中真正理解数学知识，形成技能，获得数学思想和方法，拥有广泛的数学活动经验，培养良好的数学素养，能够自主探索和创新，有可持续发展的能力，也有利于改变“重视知识结论，轻视知识形成过程”的教学状况. 它暗示了教师在设计探究性问题时，要注意了解学生的关注点和兴趣点，要尽可能地了解学生的生活实际，在生活中寻找知识的原型，让学生在问题的探究过程中以积极的心态调动原有的知识和经验，尝试解决问题，同化新知识，并积极建构新知识. 它要求师生在以后的数学教学活动中，高度关注知识生成和发展的过程，积极倡导学生参与其中，尽可能地让学生通过观察、操作、思考、交流、探究等形式主动参与学习，展现基本概念的抽象和概括过程、数学问题的提出过程、解题思路的探索和形成全过程、基本规律的发现和总结过程，力争做到“知其然，更要知其所以然”，从而积累解决问题的经验和策略，积累数学活动经验，提升学生的数学素养.

数学的创新与发现并不神秘，只要我们遵循数学研究的基本规律，从已有的具体问题出发，将特殊问题一般化，或一般问题特殊化，或对已有问题作横向和纵向的类比，或将问题逆向思考，总会发现、提出新问题，并通过合情推理或演绎推理等加以解决. 所有这些都要求我们课堂教学应注重探究知识的形成过程，培养学生自主探究的能力. 教学中在重视知识传授的同时，更要重视数学思想方法的渗透，培养学生提出问题、分析问题、探究问题、解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识.

参考文献：

[1] 陈洪远. 初中数学探究题集锦 [M]. 杭州：浙江教育出版社，2006.

[2] 伍友平. 2010年江西省南昌市中考试题“课题学习”评析 [J]. 中国数学教育，2011（5）：16-18.