何方璇

在各省市的高考题中，常将导数作为压轴题的考查对象，而导数中多涉及不等式的恒成立的证明或求解问题，本文以解决不等式恒成立问题的两种方法比较为突破点，发现一类恒成立问题，采用构造动函数分类讨论往往很困难，但若巧妙地构造斜率可以有效地降低题目的思维量和运算量，达到事半功倍的效果。

一、一道高考题的两种解法

【2012全国大纲卷理科第20题】设函数f（x）=ax+cosx，

x∈[0，π]

（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围。

解：（1）略

解法1：ax+cosx≤1+sinx，x∈[0，π]等价转换为ax+cosx-1-sinx≤0，

令g（x）=ax+cosx-1-sinx，要使g（x）≤0成立，只需使gmax（x）≤0

g′ （x）=a-cosx-sinx=a- sin（x+ ），

∵x∈[0，π]，∴ sin（x+ ）∈[-1， ]

①当a≥ 时，g′ （x）≥0，g（x）在x∈[0，π]上单调递增，

gmax（x）=g（π）=aπ-2≤0

即a≤ ，所以a∈？准

②当a≤-1时，g′ （x）≤0，g（x）在x∈[0，π]上单调递减，gmax（x）=g（0）=0≤0

即a∈R，所以a≤-1

③当-1

g（x）单调递减，x∈（x0，π]，g′ （x）>0，g（x）单调递增。所以gmax（x）为g（0）和g（π）的最大值。

g（0）≤0g（π）≤0得a≤ ，所以-1

④当-1≤a< 时，令g′（x）=0，？埚x1∈（0， ），x2∈（ ， ），

当x∈[0，x1），g′ （x）>0，g（x）单调递增，因为g（0）=0，？埚x3∈[0，x1）使g（x3）≥g（0）=0

所以1≤a< 不成立。

综上所述a的取值范围为a≤ 。

解法2：ax+cosx≤1+sinx

①当x=0时，a∈R

②当x∈（0，π]时，a≤ ，

令g（x）=sinx-cosx+1= sin（x- ）+1，g（0）=0

则上式转化为a≤ =k，其中k为函数图象上点（x，

g（x））与点（0，g（0））连线的斜率。

由三角函数知识g（x）= sin（x- ）+1的函数性质。

在（0， ]上g（x）为下凸的单调递增函数，在[ ， ]上g（x）为上凸的单调递增函数，在[ ，π]g（x）为上凸的单调递减函数。故k为先递增后递减的函数。

所以kmin（x）为k（π）和 k（x）中取得，

其中 k（x）为函数在点（0，g（0））处切线的斜率，

k（x）=g′（0）=1，k（π）=

∵k（π）< k（x）∴kmin（x）=k（π）= ，∴a≤

综上所述a的取值范围是a≤ 。

解法1构造含参数的动函数，此法的难点在于就参数a进行分类讨论。若采用分离常数构造定函数利用导数求最值的办法，需要二阶求导和洛必达法则，超出了高中生的理解范围。

解法2采用了分离常数构造割线和切线斜率的办法，有效地规避了分类讨论，也降低了求导的繁琐程度。

二、高考中的应用举例

1.与原点连线斜率： 型