赵蓉

内容摘要：本文尝试利用三维激光扫描数据——点云，实现在计算机辅助制图下完成佛龛展开示意图的方法。此方法借鉴并融合手工测绘时对佛龛曲面的展开结构、画法几何曲面展开法以及坐标控制法等，是考古绘图在龛壁曲面展开实践方法上的一个新尝试。本文同时探讨了手工展开龛曲面的可能性，并进行了两种方法之间的比较。

关键词：三维扫描；圆拱形佛龛；画法几何；曲面展开

中图分类号：K879.21 文献标识码：A 文章编号：1000-4106（2016）01-0026-07

Abstract： This paper deals with the graphic solution method in unfolding drawings of arched niches using computer-aided drawings based on 3D laser scanning. This method refers to the combination of three methods-- manually unfolding drawings， a curved surface descriptive geometry approach， and a coordinated control method. The application of this technology is a new attempt in handling the problem of attaining accurate images from hard to access locations. This paper also discusses the feasibility of manually unfolding drawings and the differences between these methods.

Keywords： 3D Laser Scan； arched niche； descriptive geometry； unfolding drawings

一 前 言

石窟中的佛龛是一个位于壁面上凹进的立体空间，其形制有阙形、圆拱、双层、敞口、盝顶帐形等几种形式。龛内除佛、菩萨等塑像外还有壁画，题材一般为尊像的头光、背光、华盖、供养菩萨、弟子、飞天、莲花化生等。为满足客观记录这些龛内壁面信息的需要，以往考古绘图的做法是将佛龛内壁虚拟展开在一个平面上，绘制成线图，形成佛龛内壁结构及其壁画的展开图①[1]。

利用三维激光扫描技术获取的数据，可在计算机中虚拟显示带有坐标系统的洞窟立体空间模型，通过坐标控制，实现虚拟空间中洞窟壁面需要的投影形态②，以便于形成考古线绘图。在计算机制图中，佛龛中方形的阙形龛和盝顶帐形龛等内壁面较平直，可用石窟室壁的处理方法，利用坐标控制提取各壁面及顶的投影面，再用换面法[1]47使各投影面自动展开在一个平面上。但圆拱形龛内壁呈不规则曲面，在画法几何的定义中属于不可展开曲面，无法用处理平直壁面的方法来建立简单投影面，只能用分段展开的方法进行示意展开。本文的主要内容即是探讨利用三维激光扫描技术成果的后期处理、坐标控制和相应的辅助软件，借鉴画法几何中圆柱形表面展开方法，将圆拱形佛龛内壁曲面投影在多个具有同一坐标系的投影面上，实现圆拱形龛的示意展开。

二 考古绘图中曲面展开图应用拾零

曲面展开在考古绘图中应用已广，主要用来表现器物表面和石刻、塑像纹饰等。马鸿藻在《考古器物绘图》中列出了“曲面的展开与近似展开”及“器物花纹的展开”两章[2]，专门讲述考古器物绘图中展开法的应用，将曲面分为可展曲面和不可展曲面。对可展曲面上的图案可用两脚规分段控制测量、拓片拓写、透明纸拷贝等方法；对不可展曲面则可用近似展开的方法进行示意，并用大量实例予以说明。在正式的考古报告中，展开图的运用在记录和展示文物细节方面起到不可忽视的作用。例如《满城汉墓发掘报告》中对漆奁外立面的展开[3]、《沂南古画像石墓发掘报告》中大量拓片[4]在展开柱形画像石方面的应用都属于器物表面曲面展开。

在石窟考古方面，依山开凿所形成的龛曲面不像一般建筑形成的曲面那么规则，囿于技术的限制，展开图的应用并不广泛。长广敏雄《云冈石窟——中国文化社会史迹》解说篇，有对云冈第18窟北壁、东壁、西壁展开的配置图，起到几个壁面空间结构分布关系的示意作用。书后并附有大量拓片[5]，一般是菩萨圆柱形头冠的展开拓印，也属于外曲面展开。水野清一、长广敏雄所著16卷的《云冈石窟》和三编《龙门石窟的研究》中附有部分圆拱形佛龛内曲壁石刻纹饰的拓片[6]，可以算作内曲面展开。敦煌研究院编《敦煌石窟全集》第1卷《莫高窟第266～275窟考古报告》中，将手工绘图和计算机辅助制图相结合，在圆拱形龛展开图的结构上使用了三维激光扫描数据作为辅助[7]。

三 相关研究

利用计算机，用不同的算法对曲面进行展开，在制模工业、服装制造业及逆向工程等领域运用广泛。

使用三维激光扫描技术进行佛龛展开的相关研究，有段奇三、吕文旭《三维激光扫描技术在曲面展开中的应用》[8]，作者讨论了基于三维激光扫描数据，用断面法对龛这样的曲面进行微分及积分计算获取纵向及横向两方面的曲面尺寸数据，从而对龛曲面进行展开，在利用三维激光扫描技术做展开图方面做了有益的尝试。但对包括点云影像或模型在内的虚拟实体无法直观展开，而后期处理还需采用手工展开方法，对绘制龛内壁画的可操作性不强。

本文以莫高窟第259窟中圆拱形龛为例，采用画法几何中投影换面法，利用三维激光扫描技术的成果——点云，较为直观地展开圆拱形佛龛内壁，并兼论与手工佛龛展开方法的对比。

四 圆拱形龛的展开方法

（一）圆拱形龛形态认识

空间凹进，与壁面相交部分的龛外沿呈底边平直的圆拱形{1}。龛内平面形状亦为底边平直的圆拱形，或可看作窄边转折处为圆转角的梯形，龛壁在接近龛底的部分近似垂直于龛底，随着空间升高，龛壁逐渐内收，在接近龛顶处聚拢形成穹隆形顶部空间，与龛外沿上部相接，形成圆转曲面，也称圆券形龛{2}。

（二）展开结构设计

展开结构应根据龛内壁画内容及龛内曲面曲度进行展开前的设计。一种情况是龛内壁画无明显构图上的区划，可视为一个整体，展开时可根据龛曲面的曲度变化决定展开切口的位置。另一种情况是龛内壁画在构图上有明显的区划，如本文所讨论的情况，分主尊头光、背光及两侧内容，并且其区划与龛曲面曲度变化有一定关系。这种情况下，龛内壁画被分为三个区域：（1）中区，居于龛后壁正中位置的主尊头光与背光；（2）左区，龛内左侧胁侍菩萨、弟子及飞天、化生、莲花图案等；（3）右区，龛内右侧胁侍菩萨、弟子、飞天、化生、莲花图案等。龛内壁展开结构线就是三块区域的分割线，展开时切口的位置可根据每一区域壁面曲度变化来确定。

（三）手工展开圆拱形龛的理论方法

此处的手工展开法，是指在没有计算机辅助及测量仪器的情况下，依靠简单的工具，如皮尺、垂球、水平尺等进行实地手工测量的方法。

按手工测绘时积累的经验，首先观察被测龛的形态、大小、曲面曲度、壁画内容等，确定水平极线及垂直极线的合适位置（在洞窟中设置极线，为保护文物，需因地制宜，不应采取钉、粘贴等办法），一般水平极线的设置要同时水平于龛底边沿，或根据需要随时进行高度上的调整。垂直极线最好起始于龛外沿的顶端，根据龛所在墙面的倾斜度决定悬于龛外或垂吊于龛内。

具体作法：

1. 设置辅助极线 一般在龛顶外沿正中与其相切位置设置一条垂直极线AO，在接近龛底的位置设置一条水平极线B，此水平极线与龛外沿底边平行，并与铅垂线AO的投影点O相交；从投影点O沿龛底做垂直于B线的O'线，与龛后壁相交于O'，形成的曲线O'A即为龛后壁垂直方向展开的高度，O'A为一垂直于B线及水平面的铅垂面，O'线垂直于B，但不一定是条水平面上的线，视龛底平面倾斜情况而定。

2. 展开结构控制 从L点沿龛壁水平量取L到O'的曲线长度，即为展开图中龛内右侧区域在绘图平面上的实际水平长度，L点与O'点垂直方向上的落差关系，取决于他们与B线的水平高差。从L点沿龛右侧外沿垂直量取L点到A点的曲线长度，即为展开图中龛右侧区域在绘图平面上的实际垂直展开高度。同样的方法找到龛内左侧区域MAO'的位置（图1—2，展开线图为借用点云影像展开的线绘图）。

3. 确定展开结构具体轮廓 L点与A点的实际连线的形态，取决于龛外沿所在壁面与ABO面的夹角关系，从L点沿龛沿曲线向上等分距离量取，形成L1点、L2点……从各点引垂线，量取其与L点的进深距离，确定各点在AL方向上的实际位置，形成龛外右边沿的实际形态。量取点L1、L2到龛内壁中区与右区分界线的水平曲线距离，在绘图平面上进行标识、绘制和连线，形成龛内右侧区域的外形轮廓（见图2蓝色区域），还可同时记取此过程中水平连线与壁面壁画的相交点位置，在绘图上进行标识（见图2红点标志）。水平方向上等分越密，获得的点位越多，绘图平面中展开图的外形轮廓及壁画的精确度越高。同理，沿M点在垂直方向上对龛沿曲线等分，并依如上方法形成龛内左侧区域展开的外形轮廓（见图2绿色区域）。沿AO'向两侧分别水平量取到龛壁中间区域边界的曲线距离，进行水平方向的展开，形成龛内壁中间区域的展开形态（见图2黄色区域）；垂直方向上等分量测，在近龛顶处无法进行，可将水平间距尽量缩小以满足量测需要。最后将龛顶区域做近似平面展开，期间要注意量测点的起算位置，并根据龛内壁曲度大小，也就是明显转折位置处做展开切口。

4. 确定壁画轮廓 根据各水平线与壁面壁画轮廓相交点在平面绘图上进行标识，确定壁画具体位置及轮廓。

由于龛内情况复杂、龛后壁贴塑佛像等，测量时并不能完全根据理论实施展开，应视情况而采取不同的方法。例如：如果有塑像阻碍量测不到A0'线的曲线长度，可以将塑像外轮廓作为参考，并使用卡尺等对塑像轮廓进行测量；在AO'线无法在壁面上进行标识的情况下，可另设置一条位于00'A铅垂面上的铅垂线，用两条铅垂线重叠目测的方法进行测量。

（四）利用三维激光扫描数据点云展开圆拱形龛的方法

1. 具备的基本数据

佛龛的三维激光扫描数据——物像的三维点云。

2. 计算机制图软件

Cyclone、MicrostationV8、PhotoshopCS、AI等。

3. 采用的理论方法

（1）坐标控制在Cyclone软件中对物体的三维点云进行三维坐标控制，可实现物体在虚拟空间中任意角度的观测和使用；

（2）以画法几何中的投影变换法和旋转法通过坐标控制，按需求将不同坐标系下有关联的投影面进行坐标轴变换，将投影面在水平及垂直方向上定向旋转；

（3）以画法几何中的圆柱立面展开法将佛龛内壁看作是近似规则的圆柱曲面，并用圆柱立面展开法在水平方向和垂直方向上同时进行近似展开。

4. 具体作法

以莫高窟第259窟北壁一圆拱形龛为例。

（1）在Cyclone软件中对点云数据布置坐标控制线

该控制建立在洞窟原有坐标的基础之上（此处显示的坐标并非原数据坐标原点，只起示意坐标轴方向的作用）。该控制在展开过程中将龛内壁分为五个纵向区域进行操作，分别是中区，佛背光中心部分；左一区，佛背光左侧；左二区，左侧胁侍菩萨及左侧区域；右一区，佛背光右侧；右二区，右侧胁侍菩萨及右侧区域（图3）。

a. 将龛壁与龛底相交的曲线视为近似圆柱形，沿圆柱形曲面取N个点，每个点的Z轴值相同（在同一水平面上），每相邻两点之间的连线视为弦长，亦为展开图中同一坐标系下的X轴，以及水平方向展开的轨迹（图4）。

b. 以C点及D点为起始点做垂直于XY面的直线，C垂线与龛壁面相交处取点C1，CC1连线即为纵方向龛壁展开时的弦长，亦为展开图中同一坐标系下的Y轴，以及纵方向展开的轨迹；在D点所在垂线上取与C1相同高度的点D1，连接C1与D1为一水平线，C1D1连线即为纵方向龛壁展开时截交线（图4）。

c. 同理，以基准面上各点A、B、C、D、E、F为始做垂线，与壁面相交处取点形成A1、B1、C1、D1、E1、F1，将垂线长度定义至与壁面相交的高度，以此点沿龛壁水平方向形成的水平线即为纵方向展开时的截交线，并依此方法做各相应高度纵方向展开的弦长及截交线（图4）。

d. 以A点为坐标原点，AB直线为坐标X轴，AA1直线为坐标Y轴，使ABA1面形成投影面，并依次类推，以其他各点为坐标原点建立各自的投影面。

e. 所有坐标控制依次建好后，根据坐标轴数据给每个坐标原点重新输入计算好的坐标值，使各点统一在一个坐标系下。

（2）输出投影面

a. 在Cyclone中依次选择已经建立好的坐标系，1、A2……为当前坐标，并将点云以顶视图界面输出为TIF格式的影像图。

b. 在MicrostationV8中，由光栅管理器依次导入已经输出的影像图，导入的影像图带有坐标系数据，将自动缀合为二维平面的展开形态，以佛背光中区部分为例（图5），并对重叠部分进行裁切。

（3）补充与调整

a. 观察图5-1以及相应的点云形态，单纯地模拟圆柱纵向展开龛后壁，无法使穹隆顶充分展开，故应再次进行坐标控制，将佛背光左一区、右一区单独进行展开（图5-2红色区域）。

b. 对背光左一区、右一区再次使用布置坐标控制线的办法，实现纵向拟圆柱形展开，并以两侧外部位置上的纵向线为轴旋转至合适的角度，依次进行展开。

（4）重复以上步骤对背光左侧进行展开。

（5）同理，对龛两侧包括胁侍菩萨在内的左二区及右二区进行依次展开，形成最后的点云影像展开图。

（6）根据已经展开的点云影像图，参考和匹配龛内照片绘制龛内壁画，形成最终的龛展开图（图6）。

对比龛立面线绘图（图7），可观察到龛内顶部壁画及侧壁面壁画已经清晰完整地呈现出来。

利用三维点云对龛展开实施的操作，提供了龛壁曲面可直观展开的途径。展开的全过程事实上都由人工干预完成，干预的效果取决于对龛型的认识、以往工作经验的积累以及对工作软件的熟悉程度。特别是展开前的设计工作，对相应复杂的龛内壁及壁画如何有效展开起到决定性的作用。例如莫高窟第259窟双佛龛的展开，将龛内壁分为7个区域进行展开（图8—9）。

五 后 论

佛龛内壁曲面展开可以反映其壁画的完整形态，使佛龛立面图上因空间叠压而挤压在一起的龛内两侧壁及顶部壁面与立面龛壁一起完整地展现在一个平面上。由三维激光扫描技术支持下的佛龛展开图除了可以将曲面龛内壁画平展在一个二维平面外，在实物龛的测量方面还可以提供一些方便的信息：1.龛底平面曲线的长度，2.龛立面外沿曲线长度，3.龛底相对水平面的倾斜程度，4.龛外沿立面与铅垂面的交角关系等。这些信息可以为考古研究增加基础而且直观的数据。至于绘图过程及结果的可编辑化以及存储方式的便利，都是计算机辅助制图的基本特性[9]，不需多言。另外，本文基于点云数据绘制的佛龛展开图，首先满足考古绘图的基本要求，借鉴手工展开时的结构设计，根据壁画内容划区域对佛龛进行展开，可以作为观察、记录以及描述实体洞窟形态的良好媒介。

本文论及的点云影像展开图的方法，建立在三维激光扫描测量的基础上，选择计算机辅助制图作为工具，对比手测时的手工展开图在数据采集、展开控制、壁画绘制的准确性及线绘图的艺术性方面有以下异同。

1. 数据采集

虽然手工展开图用软皮尺可以量取曲面实际长度，但操作性不稳定，在量取时很难做到水平方向和垂直方向上精准的要求，而且绘制壁画内容时取点过多，操作繁琐，耗时长，更重要的是接触壁面，对文物有一定程度的损害；

点云影像图的前期数据采集使用三维激光扫描技术，不接触壁面，测量数据相对精准、快速，作业时间缩短，可以在计算机的虚拟空间中对物体进行测量。

2. 展开控制

手工展开图在画面展开结构方面由于观察角度的限制，认识更为主观。展开的控制需与采集数据同时进行，可控性差，难度大；

点云影像的龛展开同样由人为控制，但利用坐标转换及投影来实现，操作方便，而且整个展开过程可以有效控制及标记。但展开曲面时的投影长度往往会略小于实际曲面。

3. 壁画绘制

在绘制龛内展开后的壁画线绘图时，手工展开图需要工作人员在现场，根据前期采集点位数据进行连线绘制。完成的水准取决于美术训练的基础素养，人为因素较多，在采集数据时的准确性及完成后的艺术性方面，对工作人员的个人综合能力要求较高；

点云影像展开图在绘制壁画内容时，可以提供真实的壁画照片进行参考或与点云影像进行匹配予以绘制，除在艺术效果方面有可能略有欠缺外，准确性、完整性及绘制的方便性更为突显。

无论是手工佛龛展开，还是利用点云影像进行佛龛展开，其过程都贯穿着人的意志，其结果有赖于人的正确认识和操作。所不同的只是工具的选择和使用，以及解决问题的思路。20世纪70年代，敦煌文物研究所（敦煌研究院前身）为了复制洞窟以及考古学记录的需要，曾经绘制过洞窟的佛龛展开图，老一辈考古及美术工作者化解了龛壁曲面的曲度以及相应带有壁画内容的矛盾，最早尝试手工展开佛龛的方法，考虑到了形象的完整性和展开的合理性，使佛龛展开图做到了形象全面，构图美观。为计算机辅助下进行考古绘图打下了良好的认识基础。随着电脑技术的发明和普及、文化遗产数字化概念的产生和完善，石窟考古绘图开始广泛使用三维激光扫描等新的测绘技术记录和展示洞窟现状，用更新更科学的手段实现佛龛展开图的绘制逐渐成为可能。

任何技术和方法都无法做到完美，利用三维激光数据实现佛龛展开，并在此基础上绘制线描图还是一个新的尝试，它规避了数学模式靠计算机算法展开曲面对美术工作者造成的困扰，但在自动化处理或真实性方面或有不足之处。此方法是否可行，也取决于佛龛展开图所要达到的目的。在新技术应用过程中出现的问题，希望有关方面专家能够提醒和指出。随着技术的逐步发展、完善，相信会有更为科学、直观、简便的方法来处理目前考古绘图中亟待解决的问题。

参考文献：

[1]张大庆.画法几何基础与机械制图[M].北京：清华大学出版社，2012：73.

[2]马鸿藻.考古器物绘图[M].北京：北京大学出版社，2011：174，183.

[3]中国社会科学院考古研究所，河北省文物管理处.满城汉墓发掘报告：上[M]北京：文物出版社，1980：304.

[4]南京博物院.沂南古画像石墓发掘报告[M].北京：文化部文物管理局，1956：图版40-41.

[5]長廣敏雄.雲岡石窟：中国文化社会史蹟[M].東京：世界文化社，1976：56.

[6]水野清一，長廣敏雄.龍門石窟の研究[M].東京：座右寶刊行會，1941：XXII-XXIII.

[7]樊锦诗.莫高窟第266～275窟考古报告：第1分册[M].北京：文物出版社，2011：169，230.

[8]段奇三，吕文旭.三维激光扫描技术在曲面展开中的应用[J].敦煌研究，2012（3）：119.

[9]赵令杰.信息技术下的考古测绘比传统方法好在哪里[N].中国文物报：文物考古周刊，2014-10-10（5）.