函数零点问题的常见处理策略

臧华

(江苏省泰州市姜堰区蒋垛中学，225503)

在学习过程中学生经常会碰到函数零点问题.虽然命题类型不多，但是难度颇大.如果学生解题方法掌握不到位,解题时往往感到束手无策.解决函数的零点问题,通常有以下处理策略.

一、求解型

这类问题通常是研究函数零点的个数和确定零点所在区间,或者已知函数的零点个数或零点所在区间求参数的取值范围.处理的方法有两类:一类是直解型,另一类是图象型.

例1函数

的零点为______.

分析两段函数均可以直接解出零点,需要注意的是定义域的限制.

解当x≤0时,由x2-2x-3=0，得x=3(舍去),x=-1;当x>0时,由-1+lnx=0，得x=e,所以函数f(x)的零点分别为-1和e.

评注函数y=F(x)有零点等价于方程F(x)=0有实数根．当函数是一元二次函数或者是基本初等函数时,函数的零点可以直接解出.

评注函数y=F(x)=f(x)-g(x)有零点也等价于函数y1=f(x),y2=g(x)图象有交点.

当函数是一元二次函数和基本初等函数的组合时先判断函数是否单调:如果单调且连续,可以用零点存在性定理检验零点的情况;如果不单调,可以先令函数等于0,移项后再作出两个函数的图象,研究它们的交点情况.

变式训练函数f(x)=lnx+2x-5的零点个数为______(答1个).

例3已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求实数a的取值范围.

评注对于已知函数零点个数求参数的取值范围,首先变量分离,分离后方法如下:

(2)方程f(x)=a在区间I上的零点数⟺y=f(x)与y=a的图象在区间I上的交点数.

例4已知二次函数f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R)满足f(1)=0,且关于x的方程f……