一道高考函数题的解法探究

邹蓓蓓

(江苏省如皋中学，226500)

本文以2015年江苏高考数学卷第19题为例,对高考函数的常考问题进行探究,以总结出解决这类问题的有效思路与解法.

一、试题呈现

题目已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).

(1)试讨论f(x)的单调性;

分析本题是导数、函数知识的综合应用题,主要考查含参函数的单调性、函数的零点判定定理,利用导数探究初等函数的单调性、极值和零点问题;考查学生综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力以及逻辑推理能力,包括分类讨论思想、函数与方程思想、转化与化归思想以及数形结合思想.

二、思路与解答

1.第(1)问思路与解答过程

思路观察题目,要求函数f(x)的单调性,先求导,此时发现求导后f′(x)表达式中含有参数,这就要求根据参数的范围进行分类讨论.

解答f′(x)=3x2+2ax.

下面分三种情况讨论:

①当a=0时f′(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;

图7的四边形OABC及其内部,其中A(-3,3)、B(3,-1),C(2,-1),O为坐标原点.设z=2λ+μ,易知动直线z=2λ+μ过点B时z有最大值,且zmax=2×3-1=5.

评注本题以平面向量的线性运算为载体,考查了平面向量的线性运算、线性规划及其应用与等价转化的思想、灵活运用所学知识解决问题的能力.若不能正确地将其转化为λ,μ的线性规划问题则无从下手.

2.第(2)问思路与解答过程

分析本题第(2)问考查学生对函数零点的判定定理的理解与掌握,要求学生利用题目已知条件通过转化推理最终得出满足条件的结果.

又，因为b=c-a,所以

f(x)=x3+ax2+1-a

=(x+1)[x2+(a-1)x

+(1-a)].

因为函数有三个零点,故x2+(a-1)x+(1-a)=0有两个异于-1的不等实数根,

综上所……