一道高考题的解法、推广及启示

杨瑞强

(湖北省黄石市第一中学,435000)

一、试题呈现(2015年四川高考题)

(1)求椭圆E的方程;

二、试题分析与证明

所以点Q在y轴上,可设Q(0,t).

解得t=1或t=2.

所以,若存在与点P不同的定点Q满足条件,则Q点的坐标只可能为Q(0,2).

① 当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立.

② 当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1x2<0,y1y2<2,则

得(2k2+1)x2+4kx-2=0,

因此Δ=16k2+8(2k2+1)>0,

证法1(利用对称性,证明三点共线)

易知,与点B关于y轴对称的点的坐标为B′(-x2,y2).

所以kQA=kQB′,即Q,A,B′三点共线(如图2)，

证法2(线段坐标化,代数推理论证)

整理，得x2(2-y1)+x1(2-y2)=0,

即x1+x2-2kx1x2=0.

证法3(利用内角平分线定理,证明斜率互为相反数)

证法4(利用伸缩变换,将椭圆变圆)

由l的两种特殊位置:x=0和y=1,可求出Q(0,2).(具体过程同上)

由OA′2=OB′2=2=OP′·OQ′知,直线OA′、OB′分别是∆P′A′Q′、∆P′B′Q′外接圆的切线.

因为∠OA′P′=∠OB′P′,所以由弦切角与圆周角的关系，知∠P′Q′A′=∠P′Q′B′,从而

tan∠P′Q′A′=tan∠P′Q′B′,

即∠PQA=∠PQB,

三、试题推广

由OA′2=OB′2=OP′·OQ′知,直线OA′、OB′分别是∆P′A′Q′、∆P′B′Q′外接圆的切线.

因为∠OA′P′=∠OB′P′,所以∠P′Q′A′=∠P′Q′B′,从而

tan∠P′Q′A′=tan∠P′Q′B′,

(说明:此处推广命题仅利用伸缩变换证明,也可以利用前三种方法证明,限于篇幅,留给有兴趣的读者自行完成.)

(证明同上,此处略.)

四、试题解法启示

(1)圆锥曲线中的定点(定值)问题,一直是高考的热点问题,解决此类问题常见的方法有两种:一是直接推理、计算,并在推理计算的过程中消去变量,从而得到定点(定值);二是从特殊位置入手,求出定点(定值),再证明这个点(值)与变量无关.前者研究一般情形,通过逻辑推理与计算得到定点(定值),这种方法难度大,运算量大,且思路不好寻找;后者就是先利用特殊情况确定定点(定值),然后验……