王善坤，张治海

(大连理工大学 城市学院，辽宁 大连 116600)



Colored-Motzkin数对数凸性研究

王善坤，张治海

(大连理工大学 城市学院，辽宁 大连 116600)

摘要：通过构造Colored-Motzkin三角矩阵，验证了该矩阵为Aigner-Catalan-Riordan矩阵的特例。通过证明Colored-Motzkin数是Colored-Motzkin三角矩阵的第0列元素来研究其对数凸性。由于Catalan数、Motzkin数、Hexagonal数都是Colored-Motzkin数的特例，因此可以统一的推导出Catalan数、Motzkin数、Hexagonal数各自都构成对数凸序列。

关键词：Colored-Motzkin数；Aigner-Catalan-Riordan矩阵；对数凸性

组合学家们在组合序列的对数凹性方面已经取得了丰富的研究成果[3-4]。而在组合序列的对数凸性方面，情况并不是一样的乐观。Davenport 和 Pólya[5]于1949年得出二项式卷积保持对数凸性的结论，但是在很长一段时间里，组合学家们并没有对序列的对数凸性进行非常系统的研究。因此目前只有一些比较零散的研究结果。本文研究带有参数的组合序列Colored-Motzkin数的对数凸性，由于Colored-Motzkin数可以统一的表示许多常见的组合序列，因此可以统一的判断许多常见组合序列是否具有对数凸性。

1Colored-Motzkin数及相关工具简介

1.1　Colored-Motzkin数

Colored-Motzkin数mn(u,l,d)[6]定义为

式中，u,l,d为非负整数。 mn(u,l,d)满足递归关系

(n+2)mn(u,l,d)=l(2n+1)mn-1(u,l,d)+(4ud-l2)(n-1)mn-2(u,l,d)。

由上式可以得出Colored-Motzkin数的发生函数为[7]

1.2　Riordan矩阵

Riordan矩阵是无限下三角矩阵，该矩阵可以用一对函数(g(x),f(x))来表示。Riordan矩阵第k列元素的发生函数Ck(x)为

Ck(x)=xkfk(x)g(x), k=0,1,2,…,

式中，g(0)=1,f(0)≠0。

设R=[rn,k]n,k≥0为Riordan矩阵，且R=(g(x),f(x))。则Riordan矩阵R可以通过序列A={an}n≥0和Z={zn}n≥0来刻画[8]，即

设A序列的发生函数为A(x)，Z序列的发生函数为Z(x)，则A(x)和Z(x)与g(x)和f(x)满足关系

1.3　Aigner-Catalan-Riordan矩阵

设矩阵

是无限下三角矩阵，其满足递归关系

(n,k≥0),

式中，zj,aj,k为非负整数，且当k>j≥0时 aj,k=0。无限下三角矩阵T=[tn,k]n,k≥0称为Aigner-Catalan-Riordan矩阵。

设矩阵T=[tn,k]n,k≥0为Aigner-Catalan-Riordan矩阵，则称矩阵

为Aigner-Catalan-Riordan矩阵T=[tn,k]n,k≥0的系数矩阵。容……