☉江苏省张家港市崇真中学 王耀民

他山之石可以攻玉
——例谈构造法在不等式解题中的运用

☉江苏省张家港市崇真中学 王耀民

构造法是通过构造辅助量来解决数学问题的一种思维方法，是数学中一种富有创造性的思维方法.它根据数学问题的条件或结论的特征，以问题中的数学关系为“框架”，以问题中的数学元素为“元件”，通过深入分析问题的结构特征和内在规律，构造出新的数学对象或数学模型，使问题等价转化为与之有关的函数、方程和图形等，从而使问题得到解决.它常常表现出简洁、明快、精巧、新颖等特点，使数学解题突破常规，具有很强的创造性.本文以解决不等式问题为例，介绍几种常见的构造法.

一、构造方程证明不等式

某些不等式证明问题，可以根据它的条件或结论的特征构造一个一元二次方程，然后利用根的判别式来证明.

例1如果x，y，z均为实数，且x+y+z=a，x2+y2+z2=a2（a>0），求证：0≤x≤a，0≤y≤a，0≤z≤a（.北京市数学竞赛题）

证明：由已知的两个等式中消去x，得

因为y∈R，

所以Δ=4（a-z）2-4（4z2+a2）≥0，

所以z（3z-2a）≤0.

点评：由于给出的已知条件是可以转化为两数之和与两数之积的关系式，这很容易使人想到根与系数的关系，从而联想到构造方程，利用判别式来解决.

二、构造函数证明不等式

根据欲证不等式结构的特点，引入一个适当的函数，运用函数的性质加以证明，通常根据所给式子的特点构造函数.

例2已知|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求证：ab+bc+ac+1＞0.

证明：设f（x）＝（b+c）x+bc+1，由于|b|＜1，|c|＜1，

则f（1）＝bc+b+c+1＝（b+1）（c+1）＞0，f（-1）＝bc-b-c+ 1＝（b-1）（c-1）＞0.

由一次函数的性质知，f（x）在（-1，1）上恒大于0，而-1＜a＜1，故f（a）＝（b+c）a+bc+1＞0，即ab+bc+ca+1＞0.

点评：构造函数证明不等式……