李 燕, 刘锡平, 李晓晨, 张 莎

(上海理工大学 理学院,上海 200093)

具逐项分数阶导数的积分边值问题正解的存在性

李 燕, 刘锡平, 李晓晨, 张 莎

(上海理工大学 理学院,上海 200093)

研究了一类具有逐项分数阶导数的微分方程积分边值问题正解的存在性和多解性.利用锥上不动点定理和 Leggett-Williams不动点定理,分别得到了该积分边值问题至少存在1个正解和3个正解的结论.最后给出2个例子来证明结论有效.

分数阶微分方程; 逐项分数阶导数; 积分边值问题; 锥上不动点定理; 正解

1 问题的提出

分数阶微分方程在流变学、力学、信号处理和系统辨识、神经网络、分形和混沌等领域有着广泛的应用.近年来,国内外学者对其理论的研究取得了许多有价值的成果[1-2],为了描述运动过程的整体性态,对于分数阶微分方程积分边值问题的研究显得尤为重要,可参见文献[3-7].在振动理论中,低阶导数项(如阻尼项)具有重要的作用,为了了解它们对系统的影响,不少学者对具有逐项分数阶导数的微分方程进行了研究[8-13].

本文主要研究一类具有逐项分数阶导数的微分方程积分边值问题

(1)

2 预备知识及引理

有关分数阶积分及Caputo分数阶导数的定义参见文献[1-2].

引理1 设0

等价.其中,

两端,运用分数阶微积分的相关理论,可得

c0+c1t+c2t2+…+cntn

并且

由边界条件可得

所以

反之,若x=x(t)是积分方程(2)的解,由分数阶微分方程的相关理论容易验证其满足边值问题(1).

引理2G(t,s)具有下列性质:

a.G(t,s)连续且G(t,s)≥0,对任意的(t,s)∈J×J;

H0假设g0,g1∈C(J),使得函数H(t,s)满……