胡建华，　王资敏，　曾博文

(上海理工大学理学院,上海200093)



哈密尔顿-凯莱定理在多项式矩阵上的推广

胡建华，王资敏，曾博文

(上海理工大学理学院,上海200093)

[摘要]哈密尔顿-凯莱定理是高等代数中一个经典的结论，它揭示了方阵和它对应的特征多项式之间的关系. 本文将此定理推广至多项式矩阵上，给出了多项式矩阵及其行列式之间的一种关系，使经典的哈密尔顿-凯莱定理成为本文中定理的一种特殊情况.

[关键词]哈密尔顿-凯莱定理； 多项式矩阵； 伴随矩阵

1引言

哈密尔顿-凯莱定理是高等代数中一个经典的结论， 它揭示了方阵和它对应的特征多项式之间的关系，是特征多项式所具有的一个重要性质.它在线性空间的直和分解、计算逆矩阵、矩阵多项式等方面有重要的应用.在教材[1]P297中给出了此定理的内容和证明.定理可简洁地概括为:任意数域上的方阵满足其特征方程.即设A是数域上的一个n阶方阵，f(x)=det(xE-A)为A的特征多项式，则f(A)=O(零矩阵).在文献[2,3,4]中，Kaczorek将此定理推广至m×n矩阵、Block矩阵上；文献[5]中WeiXing将哈密尔顿-凯莱定理推广至多元有理矩阵上.这里我们将此定理推广至多项式矩阵上， 给出了多项式矩阵及其行列式之间的一种关系，使经典的哈密尔顿-凯莱定理成为本文中定理的一种特殊情况.

2主要结果

引理1存在(m+1)个n阶常数矩阵A0,A1,A2,…,Am使得

G(x)=A0+A1x+A2x2+…+Amxm.

aij(x)=aij0+aij1x+aij2x2+…+aijmxm∈[x]，i,j=1,2,…,n，

由矩阵加法和数乘运算的线性性，只需取Ak=[aijk]n×n，k=0,1,2,…,m.

注1在引理1中

G(x)=A0+A1x+A2x2+…+Amxm，

实际上G(x)也可表示成

G(x)=A0+xA1+x2A2+…+xmAm

的形式.这里采用

G(x)=A0+A1x+A2x2+…+Amxm

这种形式.这样任意给定……