李伟鹏，　李小龙

(陇东学院数学与统计学院， 甘肃庆阳745000)



Banach空间四阶两点问题正解的存在性

李伟鹏，李小龙

(陇东学院数学与统计学院， 甘肃庆阳745000)

[摘要]讨论了Banach空间E中的四阶边值问题:

[关键词]四阶边值问题； 闭凸锥； 正解； 凝聚映射； 不动点指数

1引言与主要结果

(1)

正解的存在性.其中f∶I×P→P连续.

Banach空间的常微分方程与普通常微分方程的最大差异是,把微分方程转换为与之等价的积分方程后,相应的积分算子不再具有紧性,为了对该积分算子应用凝聚映射的不动点理论,通常需要给f附加一些非紧性测度条件.文献[2]使用了如下的非紧性测度条件:

在条件(P0)下文献[2]用严格集压缩算子的锥拉伸与锥压缩不动点理论,证明了f满足下列增长条件

另一方面，文献[2]中的极限形式条件(P1)在Banach空间E中不如序条件易于检验和使用,故本文将使用序条件代替(P1).

本文的主要结果为

定理1设E为Banach空间,其正元锥P为正规锥,f∶I×P→P连续,满足条件(H0).若f满足下列条件之一:

定理1中的π4是方程(1)对应的线性边值问题的第一特征值,同时删去了f的一致连续性.将此结果作到了最优. 所得结果改进了文献[1-4]中的相关结论, 并将文献[5]中的结果推广到了无穷维空间.

2预备知识

定义算子Q∶C(I，P)→C(I，P)如下：

(2)

其中G(t,s)为相应的线性边值问题: -u″=θ, u(0)=u(1)=θ的Green函数

(3)

则Q∶C(I，P)→C(I，P)连续, 且方程(1)的解等价于积分算子Q的不动点.

‖un(t)‖≤ψ(t)a.e,t∈I, n=1,2,…，

引理4设f∶I×P→P满足(H0),则由(2)式定义的算子Q∶C(I，P)→C(I，P)为凝聚映射.

于是有

因此Q∶C(I，P)→C(I，P)为凝聚映射.

由(3)易知,Green函数G(t,s)具有性质:

(i) 0≤G(t,s)≤G(s,s),t,s∈I;

(4)

证对∀u∈C(I，P),及∀t,γ∈I,由(2)式和性质(i)有

又由(2)式和性……