王　群，　彭小帆

(1.电子科技大学机械电子工程学院，成都611731；　2.电子科技大学数学科学学院，成都611731)



二维连续型随机变量相互独立的一个充分条件

王群1，彭小帆2

(1.电子科技大学机械电子工程学院，成都611731；2.电子科技大学数学科学学院，成都611731)

[摘要]提出了一个有关二维连续型随机变量相互独立的充分条件.该条件表明，如果二维连续型随机变量在任意概率值非0的矩形区域上被标准化后满足乘积的数学期望等于数学期望的乘积，则可推出它们是相互独立的.

[关键词]独立性； 二维连续型随机变量； 数学期望

1引言

随机变量之间的相互关系研究一直是一个重要的课题，而随机变量之间的相互独立性是描述随机变量之间相关关系最简单和最基础的性质.由独立性的定义我们知道，对于两个相互独立的随机变量，其乘积的期望等于期望的乘积，但其逆通常不正确[1].本文发现，如果一个二维连续型随机变量在任意概率值非0的矩形区域上被标准化后满足期望与乘积的运算可交换，则可推出它们是相互独立的.这里我们并没有依赖定义独立性时所需要的分布性质，而是直接考察随机变量在概率值非0的矩形区域上的数字特征.

2命题提出

若有

(1)

则随机变量X与Y相互独立.

3证明

为便于讨论，我们将平面分成9个概率值皆不为0区域，如图1所示.

图1

为简化公式令

pi,j∶=P(xi

其中i,j=0,1,2.这样，(1)式所表示的条件可简写为

Ai,j(X,Y)=Ai,j(X)Ai,j(Y).

首先给出如下两个引理：

引理1在(1)式的条件下，有

Ai,0(X)=Ai,1(X)=Ai,2(X),i=0,1,2;

A0,j(Y)=A1,j(Y)=A2,j(Y),j=0,1,2.

引……