滕岩梅

(北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京100190)



围线积分的计算及巧妙运用

滕岩梅

(北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京100190)

[摘要]围线积分的计算在复变函数与积分变换中被广泛使用，对后继课程的学习非常重要. 本文将积分计算中需注意的问题和计算方法详加总结,并应用柯西积分定理解决一些复杂问题.

[关键词]围线积分； 单连通区域柯西积分公式； 柯西积分定理； 高阶导数公式

1引言

围线积分是复变函数与积分变换的主要内容之一，其应用也非常广泛，在工程中很多领域都有涉及.首先，阐述围线积分的几种计算方法.

2围线积分的计算

首先要注意被积函数解析性，可分下面几种情况：

2.1　被积函数在积分区域内处处解析，在区域内部及边界上连续

解因为被积函数在整个复平面上有两个不解析的点，均在积分区域外部. 由单连通区域内的柯西积分定理，积分值为零.

此积分看起来似乎可以用参数方程计算定积分的方法，但明显计算上要复杂得多.

2.2　被积函数在积分区域D内有一个不解析的点，在积分曲线上连续

此时可根据被积函数的表示形式，用不同的公式运算.

求解,其中C为包含z0的任意封闭曲线.

解由重要公式知

求解,其中C为包含z0的任意封闭曲线.

求解,其中C为包含z0的任意封闭曲线.

2.3　被积函数在积分区域内有有限个奇点，在积分内部及曲线上连续

这时，需要用多连通区域的柯西积分定理,将沿原……