李　倩, 李田泽， 解爱章

(1.山东理工大学 电气与电子工程学院， 山东 淄博 255049；

2.淄博机电工程学院， 山东 淄博 255300)



基于牛顿插值算法的二维PSD非线性校正

李倩1, 李田泽1， 解爱章2

(1.山东理工大学 电气与电子工程学院， 山东 淄博 255049；

2.淄博机电工程学院， 山东 淄博 255300)

摘要：为了提高位置敏感探测器(PSD)的测量精度，减少其非线性带来的误差，提出了基于牛顿插值算法的非线性补偿插值算法.这种新型算法是通过逐次生成插值多项式的算法，当插值节点增减时，只要增加或减少一项即可，可以节省算术运算的次数，极大地简化了运算.实验结果证明，对比双二次线性插值算法的线性校正数据及插值误差分析，该算法的非线性校正精度更高、插值误差较小.

关键词：位置敏感探测器PSD； 牛顿插值算法； 插值误差分析； 非线性

光电位置敏感探测器(PSD)基于横向光电效应，它具有响应速度快、灵敏度高、频谱响应宽、处理电路简单等独特的优点，被广泛应用于光电检测等领域[1].

但是PSD的非线性使得整个器件所测数据置信度下降,尽管有些改进型PSD线性度得以改善，但其非线性仍不可避免.虽然在中央区域线性度很好，但PSD的非线性严重制约边缘区域的准确度，如何解决它已成为非常棘手的问题.目前主要采用的插值校正算法有双一次插值、双二次插值等方法，而大多数研究都在理论研究阶段，给出实际测试数据的资料不多，并且当插值节点增减时，计算要全部重新进行，为了计算方便本文提出基于牛顿插值算法的二维PSD非线性校正.

1 PSD工作原理

当入射光点落在PSD感光面的不同位置时，将对应输出不同的电信号，通过对此输出电信号的处理，即可确定入射光点在器件感光面上的位置.PSD可以分为一维PSD和二维PSD，一维是在线型的PSD两端位置引出两个电极；二维PSD是在光敏面的两边对边上的几何中心点位置引出四个收集光电流的电极[2-3].

一维PSD电流与光点位置方程：

(1)

(2)

式中:I1、I2分别为两个电极的输出光电流;I0为总的光电流;x是光斑能量中心的坐标;L为PSD中点到信号两级间的距离.

二维PSD电流与光电位置方程：

(3)

(4)

式中:Ix1、Ix2和Iy1、Iy2分别为各电极的输出光电流，x,y是光斑能量中心的坐标，L为PSD中点到信号两级间的距离.

2双二次线性插值算法

文献[4]中介绍了双一次线性插值和双二次线性插值的方法，并且证明了双二次线性插值算法的校正精度和准确度高于双一次线性插值算法.下面简单介绍双二次插值算法.

给定任意一个测量点p(x,y),该点的补偿值Ex(x,y),Ey(x,y)可以用包含该点的一个田字补偿网格A1A2A3A4A5A6A7A8A8A9上的9个顶点的补偿值Ex(xi)，Ey(yi)的线性组合来表示(以x为例，y向同)，即

(5)

(6)

称

为系数函数[5].

如果实测网格式均匀的，那么补偿网格的9个顶点的坐标可以用两个一维矩阵表示：x=[x1,x2,x3]，y=[y1,y2,y3]。系数函数φ(p,q,k,l)是由这6个坐标值x1,x2,x3,y1,y2,y3确定的函数.

3牛顿插值算法

牛顿插值算法是利用函数f(x)在某区间中若干点的函数值，做出适当的特定函数，在这些点上用这特定函数的值作出函数f(x)近似值.如果这特定函数式是多项式就称它为牛顿插值多项式.

牛顿插值多项式是基于差商所构造的插值多项式，它与双一次线性、双二次线性插值多项式本质上是一样的，只是表现形式不同.当插值节点增减时，双二次线性插值算法要全部重新进行，而牛顿插值算法计算方便，且增加节点时，只要增加一项即可，简化了运算[6-7].

n+1个节点xi(i=0,1,2,…，n)牛顿插值多项式为

f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+

f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+…+

f[x0,x1,…，xn](x-x0)(x-x1)…

(x-xn-1)

(7)

记

f[x0,x1,…，xi]

(8)

Nn(x)是f(x)的n次插值多项式，称为牛顿插值多项式，又可写为

Nn(x)=Nn-1(x)+

(9)

一阶差商：

(10)

二阶差商：

(11)

N阶差商：

f[x0,x1，…,xn]=

(12)

4 实验验证

4.1在线数据采集装置

为了验证上述两种算法哪一种的非线性补偿性更好，本文选取了一块日本HAMAMATSU公司产的S1880进行实验，实验步骤如下：

第一步，误差离散化.由于PSD的非线性误差在x,y方向上相对独立，故对每一点对应的由x方向位置误差函数Ex(x,y),y方向的位置误差函数Ey(x,y);不过，在此只选择Ex(x,y)为例，进行推导，因Ey(x,y)的推导完全类同.为了得到误差函数，将PSD置于一高准确度数控位移平台上，固定一激光器使其照射在PSD敏感面上，则控制一定步长S沿x,y方向改进，即可得到一系列网格点阵上的误差函数值Ex(xi,yi),Ey(xi,yi)[8]

(13)

式中(xc,yc)为PSD网格点的测量值，(xtc,ytc)为三坐标测量机的准确位置读数.

第二步，查找网格点，判断待修正的点与网格上哪个点距离最近，把最近的网格点作为补偿网格的中心点.

第三步，按照牛顿插值算法的思想，给定任意一个测量点p(x,y),该点的补偿值Ex(x,y),Ey(x,y)对照式(7)进行误差修正，只要是在网格内任意一点，就可以得到修正后的坐标.

4.2 两种插值算法线性校正数据比较

表1给出了两种算法对同一组测量值的校正结果.第10组、第20组数据的x坐标补偿结果相差最大，分别相差8μm和13μm.

由表1中两种算法校正数据可看出，牛顿插值算法校正后的数据与三坐标测量机的读数相差大部分小于2μm，而双二次线性插值算法与三坐标测量机的读数相差很大.由此得知，牛顿插值算法比双二次线性插值算法校正精度更高.

4.3 两种插值误差分析比较

对双二次插值算法，其插值误差：

Rn(x,y)=

(14)　取n=2,则

对牛顿插值算法，其插值误差：

Rn(x,y)=f(x,y)-pn(x,y)

=f[(x,y),(x0,y0);…;(xn,yn)]wn+1(x,y)

(16)

式中，

wn+1(x,y)=

如图1所示计算流程如下：

程序开始，存放一阶差商f[(x0,y0),(x1,y1)]，f[(x0,y0),(x1,y1)]，f[(xi-1,yi-1),(xi,yi)]…f[(xn-1,yn-1),(xn,yn)],n=0,1,…，i. 是一阶差商数组.第一步外层循环，循环变量j，表示计算第j阶差商值，设循环变量初值为1，终值为n；第二步内层循环，循环变量i，表示同阶差商计算n次，设循环变量初值为n，终值为j.取n=2，求得插值多项误差R2(x,y)为

R2(x,y)=f(x,y)-p2(x,y)=

f[(x,y),(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)]w3(x,y)=

f[(x,y),(x0,y0),(x1,y1)(x2,y2)]·

{[(x,y)-(x0,y0)][(x,y)-(x1,y1)]}≈

0.01532

(17)

图1 插值误差计算程序框图

由式(15)、式(17)得出牛顿插值误差比双二次性插值误差小，线性补偿能力较好.

5 结束语

PSD为一种高灵敏度,高准确度位置敏感探测器，如何克服非线性带来的影响，是测量领域关心的重要问题.本文提出的基于牛顿插值算法的PSD非线性校正算法，对比双二次线性插值算法的线性校正数据及插值误差分析补偿精度更高、插值误差较小.故在不增加成本，不改变测量设备复杂度的情况下，扩大了测量范围，提高了PSD的利用价值.

参考文献：

[1]黄烈云，莫彦袆，向勇军. 大面积枕型二维位敏探测器的研制[J]. 半导体光电，2014,35(2)：211-213.

[2]闫洪猛，李田泽，刘坤. 二维PSD非线性误差修正算法的研究[J]. 山东理工大学学报(自然科学版)，2007,21(6):31-34.

[3]张凤奇，王永生，张宝尚，等. 二维位置敏感器件(PSD)的畸变校正算法研究[J]. 计算机科学，2013，40(11A):150-152.

[4]丛培田，刘广军，陆明. 探测器(PSD)的非线性补偿技术[J]. 仪表技术与传感器， 2012，7: 53-57.

[5]管炳良，李星，王俊. 二维PSD非线性修正技术研究[J]. 仪器仪表学报，2007，28(7)：1295-1298.

[6]范开国，杨建国，姚晓栋，等. 基于牛顿插值的批量轴类零件加工误差补偿[J]. 机械工程学报，2011,47(9)：112-116.

[7]李庆扬，王能超，易大义. 数值分析[M]. 北京：清华大学出版社，2008.

[8]ClarenceO.E.Burg.Derivative-basedclosedNewton-cotesnumericalquadrature[J].AppliedMathematicsandComputation,2012,218(13):7052-7065.

(编辑：刘宝江)

Two dimensional PSD nonlinear modified Newton interpolation algorithm

LI Qian1， LI Tian-ze1, XIE Ai-zhang2

(1.School of Electrical and Electronic Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China；

2.Zibo Electrical and Mechanical Engineering， Zibo 255300, China)

Abstract:In order to improve the position sensitive detector(PSD) measurement accuracy, reduce the nonlinear error caused by the online data acquisition, a nonlinear compensation algorithm based on Newton interpolation algorithm is proposed.This algorithm uses micro displacement platform and correction device and is based on difference polynomial algorithm.It can increase or decvease the number to save the arithmetic operation, and simplify the computation. Experimental results show that compared with two linear interpolation algorithm and the interpolation error correction data analysis, the nonlinear compensation precision of this algorithm is higher, and the interpolation error is smaller.

Key words:position sensitive detector PSD; Newton interpolation algorithm; the interpolation error analysis; annealing

中图分类号：TN929

文献标志码：A

文章编号：1672-6197(2015)03-0069-04

作者简介：李倩，女，Liqianll2@163.com; 通信作者： 李田泽，男，Ltzwang@163.com

基金项目：山东省自然科学基金资助项目(ZR2012FL19)

收稿日期：2014-09-12