王洪彬

(淄博师范高等专科学校 数理科学系， 山东 淄博 255130)



变指标Herz型Hardy空间上一类交换子的有界性

王洪彬

(淄博师范高等专科学校 数理科学系， 山东 淄博 255130)

摘要：发展了变指标Herz型Hardy空间理论，应用原子分解定理证明了一类次线性算子和BMO函数生成的交换子在变指标Herz型Hardy空间上的有界性.

关键词：交换子；变指标；Herz型Hardy空间；有界性

在弹性力学、流体力学及其所涉及的偏微分方程研究中，很多情况下需要处理某些具有非标准局部增长条件的问题，其数学表现形式为所谓具有变指标的函数空间问题.1991年，Kovácˇik和Rákosník[1]文章的出现，使得变指标函数空间理论得到了迅速的发展，具有可积性指标的Lebesgue空间和Sobolev空间被广泛研究[2].之后人们相继建立了变指标Bessel位势空间(即广义变指标Sobolev空间)[3]，变指标Triebel-Lizorkin空间[4]，变指标Herz空间[5]，变指标Hardy空间[6]和变指标Herz型Hardy空间[7]，对于调和分析中的重要算子及其交换子在上述空间中的研究也得到了丰富的成果.另外，关于这些空间的许多应用也相继被人们发现[8].本文应用变指标Herz型Hardy空间中的原子分解定理，证明一类次线性算子和BMO函数生成的交换子在此空间中的有界性.

1预备知识和记号

给定开集Ω⊂n及可测函数 p(·)∶Ω→[1，∞),Lp(·)(Ω)表示Ω上所有可测函数f的集合,且满足对某个λ>0,使得∞.

赋予如下Luxemburg-Nakano范数

则Lp(·)(Ω)是Banach空间，称之为变指标Lebesgue空间.

p(·)∶Ω→[1,)的集合, 使得p-=essinf {p(x)∶x∈Ω}>1,p+=esssup {p(x)∶x∈Ω}<.记p′(x)=p(x)/(p(x)-1). 令(Ω)为p(·)∈(Ω)并使得Hardy-Littlewood极大算子M满足Lp(•)(Ω)有界的指数函数p(·)的集合.

下面我们给出变指标Herz空间的定义. 对于k∈, 令且Ak=BkBk-1. 记+和分别是所有正整数和所有非负整数的集合, 对k∈有χk=χAk, 若k∈+则且其中χAk是Ak的特征函数.

定义 1[5]令α∈, 0

在此基础上我们给出变指标Herz型Hardy空间的定义及其原子分解特征. 用S(n)表示n上的Schwartz空间, 它是由无穷可微且在无穷远处迅速递减的函数所构成的,S′(n)表示S(n)的对偶空间. 令GNf(x)为f(x)的grand极大函数, 其定义为，其中ΑN={φ且是非切向极大算子并且其定义为其中φt(x)=t-nφ(x/t).

定义2[7]令α∈, 0n+1.

定义3[7] 令nδ2≤α

(ii)n上的函数a被称为是限制型中心(α,q(·))-原子, 如果它满足上述条件(b), (c)以及(a)′ 对某个r≥1有suppa⊂B(0,r).

引理1[7]令nδ2≤α<, 0

其中下确界是对f的所有上述分解而取的.

在主要结论的证明中，我们还需要下面的几个引理.

其中rp=1+1/p--1/p+. 上述不等式被称为广义Höder不等式.

其中δ1,δ2是常数且满足0<δ1,δ2<1(注意在整篇文章中δ1,δ2都同引理3中的一样).

2主要结论及证明

定理1 令nδ2≤α<,00使得s+δ>α-nδ2， 且对任意具有紧支集的函数f有s.

[b,T]f满足尺寸条件

(1)

我们首先估计I1. 由式(1)和广义Höder不等式得

所以由引理2～5, 有

‖[b,T](aj)χk‖Lq(·)(n)≤C2-k(n+s+δ)2j(s+δ-α){‖(b-bBj)χk‖Lq(·)(n)‖χBj‖Lq′(·)(n)+

‖(bBj-b)χj‖Lq′(·)(n)‖χk‖Lq(·)(n)}≤C2-k(n+s+δ)2j(s+δ-α){‖b‖*‖χBk‖Lq(·)(n)‖χBj‖Lq′(·)(n)+

(k-j)‖b‖*‖χBj‖Lq′(·)(n)‖χBk‖Lq(·)(n)}≤C2-k(n+s+δ)2j(s+δ-α)(k-j)‖b‖*‖χBk‖Lq(·)(n)‖χBj‖Lq′(·)(n)≤

(2)

因此, 当0

(3)

(4)

现在来估计I2. 类似地, 我们考虑p的两种情形. 当0

(5)

(6)

因此, 定理得证.

参考文献：

[1] Kovácik O, Rákosník J. On spaces Lp(x)and Wk,p(x)[J]. Czechoslovak Math J, 1991, 41(4): 592-618.

[2] Diening L, Harjulehto P, Höstö P,etal. Lebesgue and Sobolev spaces with variable Exponents[M]. Heidelberg:springer, 2011.

[3] Diening L. Riesz potential and Sobolev embeddings of generalized Lebesgue and Soblev spaces Lp(·)and Wk, p(·)[J]. Math Nachr, 2004, 268(1)： 31-43.

[4]Xu J S. Variable Besov and Triebel-Lizorkin spaces[J]. Ann Acad Sci Fenn Math, 2008, 33：511-522.

[5] Izuki M. Boundedness of sublinear operators on Herz spaces with variable exponent and application to wavelet characterization[J]. Anal Math, 2010, 36(1)：33-50.

[6] Nakai E， Sawano Y. Hardy spaces with variable exponents and generalized Campanato spaces[J]. J Funct Anal, 2012, 262(9)：3 665-3 748.

[7]Wang H B, Liu Z Z. The Herz-type Hardy spaces with variable exponent and their applications[J]. Taiwanese J Math, 2012, 16(4)：1 363-1 389.

[9] Izuki M. Boundedness of commutators on Herz spaces with variable exponent[J]. Rend del Circolo Mate di Palermo, 2010, 59(2)：199-213.

(编辑：郝秀清)

BoundednessofcommutatorsonHerz-typeHardyspaceswithvariableexponent

WANGHong-bin

(DepartmentofMathematicalandPhysicalScience,ZiboNormalCollege，Zibo255130，China)

Abstract:Usingtheatomicdecompositiontheorem,weobtaintheboundednessofthecommutatorsgeneratedbyaclassofsublinearoperatorsandtheBMOfunctionsontheHerz-typeHardyspaceswithvariableexponent.

Keywords:commutator；variableexponent；Herz-typeHardyspace；boundedness

中图分类号：O174.2

文献标志码：A

文章编号：1672-6197(2015)03-0027-05

作者简介：王洪彬, 男,hbwang_2006@163.com

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11171345)； 淄博师范高等专科学校研究课题(13xk023)

收稿日期：2014-10-15