张 玮 玮

(安庆师范学院 数学与计算科学学院， 安徽 安庆 246133)



一类特殊类型的Riccati方程的求解

张 玮 玮

(安庆师范学院 数学与计算科学学院， 安徽 安庆 246133)

摘要：Riccati方程在常微分方程中占有重要的位置。然而，对于一般形式的里卡蒂方程通解的求解一般没有初等解法，其解无法用初等函数或其积分表示。本文讨论了一类特殊类型的里卡蒂方程解的求解方法，并得出了其通解的公式，最后举例说明求这类方程的通解。

关键词：微分方程； 里卡蒂方程；特殊；通解

非线性微分方程在理论和实践中有着极其广泛的应用，而且越来越引起人们的研究兴趣。但是，求解非线性微分方程问题，却往往是很困难的。众所周知的里卡蒂(Riccati)方程：

(1)

在微分方程理论中占有重要的位置[1-4]。事实上，能有初等解法的微分方程是很有限的，对于形式上很简单的Riccati方程一般没有初等解法。

但是，对于一些特殊类型的里卡蒂方程，譬如：在方程(1)中，若R(x)=0，则方程(1)变为伯努利方程，可以通过初等积分求其通解。若Q(x)=aP(x),R(x)=bP(x)，a,b为常数，则方程(1)变为

(2)

方程(2)为变量分离方程，可以通过初等积分求出其通解。

对于一般的Riccati方程的求解，法国数学家Liouville在1841年证明了，其解无法用初等函数或其积分表示。然而，若能找到方程(1)的一个特解，则可以适当的经过变换后，方程(1)就可以通过初等解法来求其通解。

(3)

则(3)式变为：

此方程为关于z的伯努利方程。

从引理中可以发现，只要找出方程(1)的一个特解，就可以利用初等积分的方法求出其通解。……