袁书萍，程家兴

(安徽新华学院 信息工程学院，安徽 合肥 230088)



“矩阵相似”等价于“特征矩阵等价”的证明

袁书萍，程家兴

(安徽新华学院 信息工程学院，安徽 合肥 230088)

摘要：两个数域上的数字矩阵的相似问题可以转化为其相应的特征矩阵等价的命题来解决。很多教科书对这一问题的证明过于简单，没有真正的区分数字矩阵和多项式矩阵之间的不同。数字矩阵与多项式矩阵的区别就在于数字矩阵经过加法、减法、乘法、除法后还是数字矩阵，但多项式矩阵不能无条件的进行除法运算后还是多项式矩阵。所以，我们在证明多项式矩阵的有些问题时，不能直接套用数字矩阵的一些命题和定理。本文对“数字矩阵相似”等价于“特征矩阵等价”这一问题进行了详细论述。

关键词：矩阵相似；数字矩阵；特征矩阵；多项式矩阵

设A,B是数域上的n阶矩阵，则A～B的充分必要条件是λI-A≃λI-B。目前很多的教科书上对这一问题的证明比较简单，该命题的必要性很显然，充分性的证明有些是这样：因λI-A≃λI-B，故存在n阶数字矩阵P和Q，使得：λI-A=λPQ-PBQ,比较两边的λ的同次幂的系数矩阵，有PQ=I,A=PBQ,由此得Q=P-1，A=PBP-1，故A～B。我们认为这样的证明没有真正的区分数字矩阵和多项式矩阵之间的不同。

在教学过程中，我们把这一问题这样描述:数域上的两个n阶矩阵A,B相似的问题可以转化为其相应的特征矩阵λI-A和λI-B等价来解决[1]，即

A～B⟺U(λ)(λI-A)V(λ)=λI-B

因为这里λI-A,λI-B为多项式矩阵，它们的等价是指对λI-A实行一系列的多项式矩阵的初等行(列)变换后变成λI-B，而不是数域上的行(列)初等变换，所以这里的U(λ)，V(λ)是单模矩阵。……