袁书萍，程家兴

(安徽新华学院 信息工程学院，安徽 合肥 230088)



“矩阵相似”等价于“特征矩阵等价”的证明

袁书萍，程家兴

(安徽新华学院 信息工程学院，安徽 合肥 230088)

摘要：两个数域上的数字矩阵的相似问题可以转化为其相应的特征矩阵等价的命题来解决。很多教科书对这一问题的证明过于简单，没有真正的区分数字矩阵和多项式矩阵之间的不同。数字矩阵与多项式矩阵的区别就在于数字矩阵经过加法、减法、乘法、除法后还是数字矩阵，但多项式矩阵不能无条件的进行除法运算后还是多项式矩阵。所以，我们在证明多项式矩阵的有些问题时，不能直接套用数字矩阵的一些命题和定理。本文对“数字矩阵相似”等价于“特征矩阵等价”这一问题进行了详细论述。

关键词：矩阵相似；数字矩阵；特征矩阵；多项式矩阵

设A,B是数域上的n阶矩阵，则A～B的充分必要条件是λI-A≃λI-B。目前很多的教科书上对这一问题的证明比较简单，该命题的必要性很显然，充分性的证明有些是这样：因λI-A≃λI-B，故存在n阶数字矩阵P和Q，使得：λI-A=λPQ-PBQ,比较两边的λ的同次幂的系数矩阵，有PQ=I,A=PBQ,由此得Q=P-1，A=PBP-1，故A～B。我们认为这样的证明没有真正的区分数字矩阵和多项式矩阵之间的不同。

在教学过程中，我们把这一问题这样描述:数域上的两个n阶矩阵A,B相似的问题可以转化为其相应的特征矩阵λI-A和λI-B等价来解决[1]，即

A～B⟺U(λ)(λI-A)V(λ)=λI-B

因为这里λI-A,λI-B为多项式矩阵，它们的等价是指对λI-A实行一系列的多项式矩阵的初等行(列)变换后变成λI-B，而不是数域上的行(列)初等变换，所以这里的U(λ)，V(λ)是单模矩阵。下面将对这一问题进行详细论述。

为了证明上述问题，引入一些定义和定理及它们的证明。

定义1对多项式矩阵A(λ)施行的下列三种变换称为多项式矩阵的初等行(列)变换：

(1)交换A(λ)的任意两行(列)；

(2)数k(k≠0)乘A(λ)的某一行(列)；

(3)A(λ)的某一行(列)的φ(λ)倍加到另一行(列)上去，其中φ(λ)是λ的一个多项式；

定义2设A(λ)为n阶多项式矩阵，如果存在一个n阶的多项式矩阵B(λ)，满足A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=I，则称A(λ)是可逆的，或称是单模矩阵，这里的I是n阶单位阵。

定理1单模矩阵可以写成初等矩阵的乘积

此定理所说的初等矩阵是指对单位阵I经过多项式矩阵的三种初等行(列)变换得到的相应三种多项式矩阵的初等矩阵。

证明设U(λ)是n阶单模矩阵，则U(λ)可逆，|U(λ)|=C(常数)≠0，U(λ)的秩为n，所以U(λ)的n阶行列式因子Dn(λ)=1，根据Smith标准型的递推公式：

d1(λ)d2(λ)…dn(λ)=Dn(λ)=1

(1)

di(λ)(i=1,…,n)为U(λ)的不变因子。观察(1)式：n个λ多项式乘积是1，左右两边比较系数法，推导出：di(λ)=1,i=1,…,n，即单位模阵的Smith标准型为单位阵I，Smith标准型的含义就是多项式矩阵在初等变换下得到一种重要的标准型，于是可以写成下式：

Ps(λ)Ps-1(λ)…P1(λ)U(λ)·

Q1(λ)…Qt(λ)=I

(2)

其中t,s为自然数，Pi(λ)，Qj(λ)(i=1,…,s;j=1,…,t)均为多项式矩阵的初等矩阵，变换(2)式则有

(3)

即

(4)

初等矩阵的逆仍为初等矩阵，根据(4)式单模矩阵可以写成初等矩阵的乘积得证。

定义3多项式次数的定义：设A(λ)=A0+A1λ+…+Arλr，A0,A1,…,Ar均为数字矩阵，且Ar≠0，则称A(λ)的次数为r，记为：∂(A(λ))=r，零多项式的次数无意义。

定理2若A(λ)是m阶非零多项式矩阵，B(λ),C(λ)是m行n列非零多项式矩阵，A(λ)B(λ)=C(λ)，A(λ)=A0+A1λ+…+Arλr，Ai(i=0,…,r)为m阶数字矩阵且Ar可逆，则有∂(A(λ))+∂(B(λ))=∂(C(λ))。

证明设A(λ)=A0+A1λ+…+Arλr，B(λ)=B0+B1λ+…+Bsλs，其中Ai(i=0,…,r)为m阶数字矩阵，Bj(j=0,…,s)为m×n的数字矩阵，则

C(λ)=(A0+A1λ+…+Arλr)(B0+B1λ+…+Bsλs)=C0+C1λ+…+Cr+sλr+s

(5)

其中Cr(k=0,…,r+s)为m×n的数字矩阵，比较(5)式左右两边最高项系数有Cr+s=ArBs，当Ar可逆时，它们的次数是可以相加的，即

∂(A(λ))+∂(B(λ))=∂(C(λ))

定理3设A(λ)是m阶非零多项式矩阵，A(λ)=A0+A1λ+…+Arλr，Ai(i=0,…,r)为m阶数字矩阵且Ar可逆,B(λ)=B0+B1λ+…+Btλt是m×n的多项式矩阵，Bj(j=0,…,t)为m×n的数字矩阵，则存在唯一的Q(λ)和R(λ)多项式矩阵，使得：

B(λ)=A(λ)Q(λ)+R(λ)且R(λ)=0或者∂(R(λ))<∂(A(λ))

证明显然，当R(λ)=0时即是“除尽”了，当∂(R(λ))<∂(A(λ))即是“除不尽”的情况。

“存在性”当∂(B(λ))<∂(A(λ))时,即被除数B(λ)次数小于除数A(λ)，这时Q(λ)=0，R(λ)=B(λ)

∂(R(λ))=∂(B(λ))<∂(A(λ))

图1

即R(λ)=0 或者∂(R(λ))<∂(A(λ))。

“唯一性”(反证法)若存在两组不同的商和余式，则B(λ)可以写成(6)

B(λ)=A(λ)Q(λ)+R(λ)=

A(λ)Q～(λ)+R～(λ)

(6)

改写(6)式有

A(λ)(Q(λ)-Q～(λ))=R～(λ)-R(λ)

(7)

根据定理2则有

∂(A(λ))+∂(Q(λ)-Q～(λ))=

∂(R～(λ)-R(λ))

(8)

(8)式可以写成

r+max(∂(Q(λ)),∂(Q～(λ)))=

max(∂(R～(λ)),∂(R(λ)))

(9)

而根据“存在性”证明知道：∂(R(λ))

max(∂(R(λ)),∂(R～(λ)))

显然r+max(∂(Q(λ)),∂(Q～(λ)))≥r，从而得到(9)是个矛盾式，故唯一性得证。

有了上述基础知识的准备，就可以证明：数域上的两个n阶矩阵A,B相似问题可以转化为其相应的特征矩阵λI-A和λI-B等价来解决,即

A～B⟺U(λ)(λI-A)V(λ)=λI-B

(10)

这里的U(λ)，V(λ)是单模矩阵，它们可以写成初等矩阵的乘积。

“必要性”由A～B，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B,取U(λ)=P-1,V(λ)=P,有

U(λ)(λI-A)V(λ)=λI-B，即

A～B⟹U(λ)(λI-A)V(λ)=λI-B

“充分性”我们根据定理3把U(λ)写成：

U(λ)=(λI-B)Q(λ)+R(λ)

(11)

其中R(λ)=0或者∂(R(λ))<1=∂(λI-B),即R(λ)=0或者R(λ)为n阶的数字矩阵R。

U(λ)(λI-A)=(λI-B)V-1(λ)

(12)

把(11)式带入(12)得：

((λI-B)Q(λ)+R)(λI-A)=(λI-B)V-1(λ)

(13)

改写(13)式得：

R(λI-A)=(λI-B)[V-1(λ)-Q(λ)(λI-A)]

(14)

令S=V-1(λ)-Q(λ)(λI-A),由定理2，S必须为n阶数字矩阵，即

R(λI-A)=(λI-B)S

(15)

进而R=S，下面只要证明R可逆就可以了。

因为U(λ)是单模矩阵，则U-1(λ)也是n阶多项式矩阵，则U-1(λ)可以写为

U-1(λ)=(λI-A)Q～(λ)+R～

(16)

结合(11)式和(16)式则有：

U(λ)U-1(λ)=[(λI-B)Q(λ)+R]·

[(λI-B)Q～(λ)+R～]=I

(17)

化简(17)式得：

(λI-B)SQ～(λ)+RR～=

I-(λI-B)Q(λ)U-1(λ)

(18)

化简(18)式得：

RR～=I-(λI-B)[Q(λ)U-1(λ)+SQ～(λ)]

(19)

根据定理3，RR～=I，即R可逆，则有RAR-1=B，即A～B。

即U(λ)(λI-A)V(λ)=λI-B⟹A～B

综合上述证明过程，(10)式命题得证。

本文针对“数域上的两个n阶矩阵A,B相似的问题可以转化为其相应的特征矩阵λI-A和λI-B等价来解决”命题的证明，没有真正区分数字矩阵和多项式矩阵在某些问题证明时的不同。本文就这一问题，引入了一些相应的定义和定理及其证明，最后对这一命题进行了详细深入的论述和证明。

参考文献:

[1]朱元国,等.矩阵分析与计算[M].北京：国防工业出版社，2013.

[2]王贵松,等.广义逆矩阵及其应用[M].北京：北京工业大学出版社，2006.

[3]曹志浩.变分迭代法[M].北京：科学技术出版社，2006.

[4][美]戈卢布GH,范络恩CF.矩阵计算[M].袁亚湘，等译.北京：科学技术出版社，2005.

[5]HornRA,JohnsonCR..矩阵分析[M].杨奇，译.北京：机械工业出版社，2005.

[6]王志伟，邹超英.应用型理工类本科人才创新教育的研究与实践[J].黑龙江高教研究，2010(11)：126-127.

The Proof of “Matrix’s Similarity” Equivalent

to “The Equivalence of Characteristic Matrix”

YUAN Shu-ping，CHENG Jia-xing

(Institute of Information Engineering, Anhui Xinhua University, Hefei 230088, China)

Abstract:The problem about digital matrix’s similarity can be solved with the equivalence of the corresponding characteristic matrix. In many textbooks the proof of this problem is too simple; they haven’t made a distinction between the digital matrix and the polynomial matrix. The difference between digital matrix and polynomial matrix is that the digital matrix is still digital matrix through the operation of addition, subtraction, multiplication, and division, but the polynomial matrix is not. So, when we prove some problems about polynomial matrix, it can not be used directly with the digital matrix’s definitions and theorems. This article has discussed in detail this problem that "digital matrix’s similarity” is equivalent to “the equivalence of characteristic matrix”.

Key words:Matrix’s similarity, digital matrix, characteristic matrix, polynomial matrix

文章编号：1007-4260(2015)02-0019-03

中图分类号：G47

文献标识码：A

作者简介：袁书萍，女，安徽怀宁人，硕士，安徽新华学院信息工程学院讲师，研究方向为信号处理与模式识别、数值计算。

基金项目：安徽省高等学校省级教学研究项目(2012jyxm578)。

收稿日期：2014-12-18