段 　 峰

(安徽铜陵职业技术学院,安徽 铜陵 244061)



非齐次二阶抽象Cauchy问题解的一个注记

段 峰

(安徽铜陵职业技术学院,安徽 铜陵 244061)

摘要：在Banach空间X上，非齐次二阶抽象Cauchy问题的解是人们多年来一直讨论的对象，在该问题温和解存在的条件下，如果对函数f(t)添加一些限制条件，通过构建一个强连续算子半群并对该半群无穷小生成元进行讨论，可以得到结论：该问题的温和解是古典解。

关键词：非齐次二阶抽象Cauchy问题；古典解；限制条件；适定；温和解

多年来，人们一直致力于在Banach空间X上研讨齐次二阶抽象Cauchy问题

和非齐次二阶抽象Cauchy问题

的解的情况。对(ACP2)，文献[1]已经给出了很深刻细致的讨论，但对(iACP2)解的存在性问题并不能得到很好的解决，文献[2]对解的情况作了研究，下面主要讨论在(iACP2)中B≠0的情况。为此首先给出二阶抽象Cauchy问题的古典解和温和解的定义。

定义1[1]若X-值函数u(t)二阶连续可微，u(t)∈D(A),u′(t)∈D(B),Au(t)和Bu′(t)连续，

(1)若u(t)满足方程(ACP2)，则称u(t)是(ACP2)的解。

(2)若u(t),t∈[0,T]满足方程(iACP2)，则称u(t),t∈[0,T]是(iACP2)的解。

按定义1给出的解也常称为古典解。

定义2我们称(ACP2)是适定的，如果方程(ACP2)满足：

(1) 存在X的稠密子空间D0,D1，使得对任意u0∈D0,u1∈D1，(ACP2)的解u(t)存在。

(2) 对(ACP2)的任何一个解u(t)，存在非负函数N(t)，(t≥0)，使得

‖u(t)‖≤N(t)(‖u(0)‖+‖u′(0)‖)

定义3[3]假定(ACP2)是适定的，对t>0,u∈D0，v∈D1,定义C(t)u=u(t),S(t)v=v(t),其中，u(t)为(ACP2)在u0=u,u′(0)=v时的解，v(t)为(ACP2)在u0=u,u′(0)=0时的解。

注(1)由D0,D1的稠密性，可以扩充C(t),S(t)为X上的有界线性算子。

(2)当u∈D0时，C(·)u∈C2([0,+∞),X),C(0)u=u,C′(0)u=0,C″(0)u=-Au；

当u∈D1时，S(·)u∈C2([0,+∞),X),S(0)u=0,S′(0)u=u,S″(0)u=-Bu。

定义4若(ACP2)适定且满足约定：

(a)t→S(t)u对所有u∈X,t≥0连续可微；

(b)S(t)X⊆D(B),且t→BS(t)u对所有u∈X,t≥0连续。

则称(ACP2)强适定。

注在(ACP2)强适定的条件下，文献[4]给出了C(t),S(t)的一些重要性质，主要有

(1)当u∈D(A)时，C′(t)u=-S(t)Au；

当u∈D0∩DB时，S′(t)u=C(t)u-S(t)Bu。

(2)D0=D(A),D1⊇D(A)∩DB,D(A)∩D(B)在X中稠密。

引理1若(ACP2)强适定，f∈C(1)([0,+∞),X)，则有